В приведенном выше примере один из предикатов, а именно предикат «поручик Пшебысский»(c), отличается от остальных предикатов своей явной неэлементарностью. В свойстве «быть поручиком Пшебысским» мы различаем две стороны: иметь чин и иметь фамилию Пшебысский. Поэтому и предикат выражается двумя словами. Конечно, мы могли бы представить каждое из этих слов в виде отдельного предиката, но тот факт, что «поручик» это чин объекта c, а «Пшебысский» — его фамилия, при этом не нашел бы отражения, почему мы и сочли такое разделение бессмысленным.
«Фамилия» и «чин» — это примеры функции от одного аргумента, т. е. конструкции, сопоставляющей объекту-аргументу объект-значение функции. Функция записывается так, как это принято в математике: «фамилия»(x), «чин»(x) и т. п. Если аргументов несколько, то они отделяются друг от друга запятой и мы имеем дело с функцией нескольких переменных. Эта конструкция сопоставляет набору объектов-аргументов (порядок их важен) объект-значение. Пример функции двух аргументов: «результат игры в шахматы» (x, у). Приведем примеры функций из математики.
|
|
Функции одного аргумента: | Функции двух аргументов: | Функции трех аргументов: | |
sin(x), | x |. | : +(х, у), -(х, у) | ||
расстояние r (A, B) между двумя точками A и B в пространстве. | угол, образуемый в точке B направлениями на точку A и C; обозначение ∠(A, B, C), сокращенно ∠ ABC. |
Функции одного аргумента: sin(x), | x |. Функции двух аргументов: арифметические действия, которые можно записывать так: +(х, у), -(х, у) и т.д.; расстояние r (A, B) между двумя точками A и B в пространстве. Функции трех аргументов: угол, образуемый в точке B направлениями на точку A и C; обозначение ∠(A, B, C), сокращенно ∠ ABC.
Не всякий объект можно подставить в качестве аргумента (аргументов) в заданную функцию. Если объект a — рыжий пес, то, очевидно, конструкция «чин»(a) бессмысленна. Бессмысленна и конструкция +(a, B), где a — число, а, B — точка в пространстве. Множество объектов, которые могут быть аргументами функции (для функций от многих аргументов — множество наборов объектов), называется ее областью определения.
Область определения функции «чин» (x) | Объекты, которые могут быть значениями данной функции | |
образуют все те объекты, которые являются военнослужащими. | образуют множество, которое называют областью значений функции. | |
«прапорщик», «поручик», «майор» |
Область определенияфункции «чин» (x) образуют все те объекты, которые являются военнослужащими. Объекты, которые могут быть значениями данной функции, образуют множество, которое называют областью значений функции. В область значений функции «чин»(x) входят такие объекты, как «прапорщик», «поручик», «майор» и др., но никак не «3.14» или «рыжий пес». Функция «чин»(x) приписывает каждому военнослужащему определенный чин.
|
|
Когда мы имеем дело с функциями, одно из отношений между объектами становится особенно важным, а именно отношение равенства. Оно необходимо для установления соответствия между функциональными конструкциями и наименованиями объектов из области значений функций. Выделяя равенство из массы других отношений, мы сохраним для него привычную запись х = у вместо записи в виде предиката =(х, у). Тот факт, что объект c имеет фамилию «Пшебысский» и чин «поручик», будет выглядеть следующим образом:
(«фамилия»(c) = «Пшебысский») ∧ («чин»(c) = «поручик»).
Отношение равенства можно определить формально с помощью следующих четырех утверждений:
- (∀ a)(a = a).
- (∀ a)(∀ b)[(a = b) ⊃ (b = a)].
- (∀ a)(∀ b)(∀ c)[(a = b) ∧ (b = c) ⊃ (a = c)].
- (∀ a)(∀ b)[(a = b) ⊃ (W(a) ≡ W (b))].
Последнее утверждение верно для любого высказывания W (x), зависящего от переменной х. В качестве упражнений предлагаем читателю перевести эти утверждения на естественный язык.
В одном из примеров, приведенных выше, мы видели предикат D (x, y), имеющий смысл: «x является делителем у». Понятие делимости целиком определяется операцией (функцией) умножения, поэтому предикат D (x, у) может быть выражен через функцию. Натуральное (т. е. целое положительное) число p является делителем числа n тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число т, что n = p × m. На языке исчисления предикатов
(∀ p)(∀ n)[ D (p, n) ≡ (∃ m)(n = ×(p, m))].
Каждой функции от n аргументов можно поставить в соответствие n +1-местный предикат, выражающий то отношение, что один (скажем, последний) аргумент есть данная функция от остальных аргументов. Например, функции ×(x, y) соответствует предикат M (x, y, z), который дает верное высказывание в том и только в том случае, когда z = ×(x, y). В общем случае функции f (x, у,..., z) соответствует предикат F (x, у,..., z, u), обладающий свойством
(∀ x)(∀ y)...(∀ z)(∀ u)[ F (x, у,..., z, и) ≡ (f (x, у,..., z) = u)].
функции ×(x, y) соответствует | предикат M (x, y, z), | который дает верное высказывание в том и только в том случае, когда z = ×(x, y). | |
Предикат F выражает фактически то же понятие, что и функция f. Любое высказывание, содержащее функциональные символы, можно переписать, используя лишь предикатные символы и введя дополнительно некоторое число объектных переменных. Таким образом, обе конструкции, порождающие новые объекты, — конструкция со связкой «такой, что» и функция — не являются принципиально необходимыми и без них можно обойтись. Однако в отличие от конструкции «такой, что» функциональные символы весьма удобны и широко используются в логике.