Окружность и круг

Длина окружности

длина дуги окружности

(n - величина дуги в градусах, j - величина дуги в радианах).

Площадь круга

площадь кольца

.

Площадь сектора

; (a - величина дуги в градусах)

Свойства окружности

1) касательная и радиус, проведенный в точку касания,

перпендикулярны: r ^ l

2) отрезки касательных, проведенные к окружности

из точки, лежащей вне ее, равны, т.е.

AB = AC

3) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам; диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

(AB) ^ (CD) Û CK = KD

4) квадрат длины касательной равен произведению длины

секущей на ее внешнюю часть:

AB ² =

5) центры касающихся окружностей О₁, О₂ и точка их касания М лежат на одной прямой.

C

6) в четырехугольник можно вписать окружность тогда и

только тогда, когда суммы длин противоположных

сторон равны, т.е.:

AB + BC = AB + CD

7) около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна

180⁰, т.е.:

Следствия из свойства 7):

- из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;

8) центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на

которую он опирается:

ÐО = Èa

9) величина вписанного угла в два раза меньше центрального

угла, опирающегося на эту же дугу

Ð AOC = 2Ð ABC

10) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, имеют одинаковую величину

Ð ABD = Ð ACD