Моделювання ризику з урахуванням порушень обмежень задачі

Однією з важливих характеристик плану щодо певного економічного об'єкта повинен бути рівень гарантії його виконання, або ж обернена величина — ризик невиконання прийнятих зобов'язань. Встановлення плану певного економічного об'єкта (системи) вимагає брати до уваги як внутрішню невизначеність (у характеристиках технологічного процесу), так і невизначеність зовнішнього середовища (постачання сировиною, попит на кінцеву продукцію тощо).

Нехай задані обмеження у загальному вигляді

(7.84)

Неможливість, а інколи і недоцільність вимог, щоб рішення задовольняло обмеження (7.84) за будь-яких реалізацій випадкових параметрів , наштовхує на ідею накладання дещо менш жорстких умов. Замість (7.84) можна допускати невиконання умов з певною ймовірністю:

(7.85)

або

(7.86)

Така ймовірнісна концепція гарантії реалізації плану досить добре відповідає ідеї внесення ризику щодо планування, параметр γ чисельно виражає величину ризику (природно, що у практичних розрахунках недопустимі великі значення γ). Аналогічні модифікації доводиться здійснювати і стосовно функції цілі задачі оптимального планування.

Якщо — функція, що виражає ефективність плану при заданих х та ω, то задачу визначення оптимального детермінованого плану х при випадкових параметрах ω доцільно сформулювати в одному з наступних видів:

а ) max Mf(x, ω) за умов:

б) max V за умов:

Варіант (б) унайбільшій мірі відповідає висунутій ідеї. Його можна трактувати, наприклад, як необхідність граничного підняття значення V, нижче якого ефективність може опуститися лише з малою ймовірністю γ. Цим характеристика ризику поширюється і на оцінку ефективності.

Разом з тим варіант а також є досить раціональним — намагається максимізувати середню (сподівану) ефективність. Перевагою його є те, що він призводить до більш простих у обчислювальному аспекті задач.

Нехай у нас є т обмежень:

(7.87)

де вектор можна інтерпретувати як вектор невизначеного рівня ресурсів.

Припустимо також, що компоненти ω_i вектора ω випадкові і взаємно незалежні, причому задана функція розподілу φ_i (ω_i) кожної i-i компоненти.

Замінимо (7.87) обмеженнями

(7.88)

Зважаючи на покомпонентну незалежність ω_i:

(7.89)

Останню умову можна виразити через функцію розподілу

(7.90)

Практично доцільним є і дещо інший підхід, де вимагається виконання наступних обмежень щодо рівнів ризику.

(7.91)

де γ_i — задані величини ризику (числа). Ці умови перетворюються до виду

чи

(7.92)

Недоліком цієї постановки задачі є відсутність прямої логічної мотивації у виборі параметрів ризику γ. Однак, можна підпорядкувати, наприклад, вибір γ_i умові

(7.93)

де γ —допустимий ризик (імовірність) порушень усієї системи обмежень.

Приклади обчислення правих частин умов для деяких стандартних розділів.

1. Рівномірний розподіл. Нехай всі ω_i розподілені рівномірно

на відрізках

тобто

Тоді

(7.94)

де

(7.95)

2. Нормальний розподіл. Тут

де

Якщо х_i таке, що

(7.96)

то знову ж таки

(7.97)

Отже, обмеження в задачі планування повинні ставитися (праві частини), виходячи не з середніх значень ресурсів, а з величин, зменшених відносно середніх пропорційно середньоквадратичним відхиленням .

Якщо задача оптимального планування може бути сформульована як лінійна, де оцінки ресурсів λ_i (рішення двоїстої задачі), то втрати планової ефективності, що зумовлені невизначеністю, можна наближено оцінити величиною

(7.98)

де х_i — параметри, що залежать від заданого рівня ризику [формули (7.95) чи (7.96)].

Використовуючи (7.98) можна побудувати графік залежності планових втрат (збитків) від схильності (чи несхильності) суб'єкта прийняття рішень до ризику.

Приклад. Свиноферма має можливість купувати три види зерна та готувати з нього різні суміші для відгодівлі тварин.

Кожен вид зерна містить різну кількість корисних речовин. Припустимо, що до уваги приймаються чотири компоненти речовин А, В, С, D (табл. 7.1).

Таблиця 7.1

Компоненты	Удельное содержание компонента в зерне i-го вида
i = 1	i = 2	i = 3
А
В
С
D	0,6	0,25

Нехай затрати на 1 кг зерна виду 1, 2 та 3 відповідно становлять 41 тис. крб., 35 тис. крб. та 96 тис. крб. Припустимо, що мінімально допустимі сумарні потреби в компонентах А, В, С, D у сумішах є випадковими величинами ξ¹, ξ², ξ³, ξ⁴, котрі розподілені рівномірно в інтервалах відповідно [1 000, 1 500], [200, 300], [500, 1 000], [150, 250].

Сформулювати оптимізаційну модель та відшукати оптимальний розв'язок, котрий забезпечував би мінімальні затрати на зерно, при виконанні умов щодо мінімально допустимих потреб в усіх компонентах з ризиком їх невиконання не більшим ніж 20 % (γ = 0,2).

Розв'язання. Позначимо через х₁, х₂, х₃ обсяги зерна відповідного виду, яке необхідно закупити, щоб:

(7.99)