Счетные множества

Определение 1.3. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3, …, n,…}, называется счетным.

Можно сказать также, что множество счетно, если его элементы можно перенумеровать.

Пример 1.20.

Следующие множества являются счетными.:

1. A ₁ = {–1, –2, …, – n, …};

2. A ₂ = {2, 2², …, 2 ⁿ,…};

3. A ₃ = {2, 4, …, 2 n,…};

4. A ₄ = {…, – n, …, – 1, 0, 1, …, n,…};

Чтобы установить счетность некоторого множества, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между элементами данного множества и множества натуральных чисел. Для примера 1.19 взаимно однозначное соответствие устанавливается по следующим правилам: для множества A ₁: – n «n; для множества A ₂: 2 ⁿ «n; для множества A ₃: 2 n «n; счетность множества A ₄ установлена в примере 1.19;

Установить счетность множеств можно также, используя следующие теоремы о счетных множествах (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Пример 1.21.

Множество A = {3, 6, …, 3 n,…} счетно, т.к. A – бесконечное подмножество множества натуральных чисел, A Ì N.

Теорема 2. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно.

Пример 1.22.

Множество A = {0, 1, …, n,…} неотрицательных целых чисел счетно, множество B = {0, –1, …, – n,…} неположительных целых чисел тоже счетно, поэтому множество всех целых чисел С = А È B = {…, – n, …– 2, –1, 0, 1, 2, …, n, …} тоже счетно.

Теорема 3. Множество всех рациональных чисел, т.е. чисел вида , где p и q целые числа, счетно.

Теорема 4. Если А = { a ₁, a ₂, …} и B = { b ₁, b ₂, …} – счетные множества, то множество всех пар С = {(a_k, b_n), k = 1, 2,…; n = 1, 2, …} счетно.

Пример 1.23.

Геометрический смысл пары (a_k, b_n) – точка на плоскости с рациональными координатами (a_k, b_n). Поэтому можно утверждать, что множество всех точек плоскости с рациональными координатами счетно.

Теорема 5. Множество всех многочленов P (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x² + … + a_nxⁿ любых степеней с рациональными коэффициентами a ₀, a ₁, a ₂, … a_n счетно.

Теорема 6. Множество всех корней многочленов любых степеней с рациональными коэффициентами счетно.