2015-01-21
519
Математическая теория надежности представляет собой систему определенных идей, математических моделей и методов, направленных на решение проблем предсказания, оценки и оптимизации надежности технических систем.
Рассмотрим основные показатели надежности.
Пусть t ─ время безотказной работы системы, т.е. случайная величина, представляющая собой длительность промежутка времени от момента начала работы системы до ее отказа. Пусть F (x) = P (t < x) ─ функции распределения безотказной работы системы. Тогда функция R (x) = 1 ─ F (x) называется функцией надежности системы.
В инженерной практике часто используется другой критерий: среднее время наработки до отказа (среднее время безотказной работы), которое выражается формулой
¥ ¥
m = M t = ò xf (x) d x = ò(1 ─ F (x)) d x,
0 0
где f (x) = F’ (x).
Еще одной характеристикой моделей надежности является интенсивность (опасность) отказа
l(x) = f (x)/(1 ─ F (x)).
Условная вероятность того, что время безотказной работы принадлежит интервалу
|
|
|
(x, x +D x), при условии, что это время превышает x,равна l(x)D x + o(D x).
Имеет место соотношение
x
R (x) = exp [─ ò l(y) d y ].
0
Рассмотрим типичные распределения, используемые в математической теории надежности.
1. Экспоненциальное распределение
f (x) = le─l x, r (x) = l, l>0, x ³ 0.
2. Гамма-распределение
f (x) = l(l x)a─1 e─l x/ G (a), l, a > 0, t ³ 0, (8.2.1)
¥
где G (a) = ò x a─1 e ─ x dx, a>0.
0
Сравниваяформулы (8.2.1) и (9.5.3), видим, что при a = k +1
гамма-распределение совпадает с распределением Эрланга порядка k.
Если случайная величина t имеет гамма-распределение с параметрами l и a,
то ее математическое ожидание равно a/l, а ее дисперсия равна a/l2.
3. Распределение Вейбулла
f (x) = la x a─1exp (─l x a), l (x) = la x a─1, l, a>0, t ³ 0.
4. Усеченное нормальное распределение
___
f (x) = (1/(c sÖ 2p) exp (─(x ─ a)2)/(2s2), s > 0, ─¥< a < ¥.
