основные формулы
КИНЕМАТИКА
• Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором :
где — единичные векторы направлений (орты); — координаты точки.
Кинематические уравнения движения в координатной форме:
где t — время.
• Средняя скорость:
.
где — перемещение материальной точки за интервал времени .
• Средняя путевая скорость:
где — путь, пройденный точкой за интервал времени .
• Мгновенная скорость:
где — проекции скорости на оси координат.
Модуль скорости:
.
• Ускорение:
,
где: - проекции ускорения на оси координат.
Модуль ускорения: .
При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих:
.
Модули этих ускорений:
; ; ,
где R — радиус кривизны в данной точке траектории.
• Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х:
,
где — начальная координата; t — время. При равномерном движении
и .
• Кинематическое уравнение равнопеременного движения () вдоль оси x:
|
|
,
где v 0 ‑ начальная скорость; t ‑ время.
Скорость точки при равнопеременном движении:
.
• Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) .
Кинематическое уравнение вращательного движения:
.
• Средняя угловая скорость:
,
где — изменение угла поворота за интервал времени . Мгновенная угловая скорость:
.
• Угловое ускорение:
.
• Кинематическое уравнение равномерного вращения:
,
где - начальное угловое перемещение; t - время. При равномерном вращении и .
Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения.
• Частота вращения:
=N/t, или =1/T,
где N — число оборотов, совершаемых телом за время t; Т — период вращения (время одного полного оборота).
• Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (.)
,
где - начальная угловая скорость; t - время.
Угловая скорость тела при равнопеременном вращении
.
• Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:
путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R,
( - угол поворота тела);
скорость точки линейная
; ;
ускорение точки:
тангенциальное
; ;
нормальное
; .
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТЕЛА, ДВИЖУЩИХСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО
• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):
в векторной форме:
, или ,
где — геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; т — масса; — ускорение; — импульс; N — число сил, действующих на точку;
|
|
в координатной форме (скалярной):
, ,
или
, , ,
где под знаком суммы стоят проекции сил , на соответствующие оси координат.
Сила гравитационного взаимодействия:
,
где G — гравитационная постоянная; m 1 и m 2 — массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r — расстояние между ними.
Сила трения скольжения:
,
где — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.
• Сила упругости:
,
где k — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);
— абсолютная деформация.
• Координаты центра масс системы материальных точек:
, , ,
где mi — масса i -й материальной точки; xi, yi;, zi; — ее координаты.
• Закон сохранения импульса:
или ,
где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.
• Работа, совершаемая постоянной силой:
или ,
где — угол между направлениями векторов силы и перемещения .
• Работа, совершаемая переменной силой:
,
где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.
• Средняя мощность за интервал времени :
.
• Мгновенная мощность:
или ,
где — работа, совершаемая за промежуток времени dt.
• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:
или .
• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением
или ,
где — единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),
.
• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)
.
• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m 1, и т 2, находящихся на расстоянии r друг от друга:
.
• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,
=mgh,
где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии , где R — радиус Земли.
• Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде:
+ =const.
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
• Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения:
,
где — проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l — плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).
• Момент инерции относительно оси вращения:
а) материальной точки
,
где т — масса точки; r — расстояние ее от оси вращения;
б) дискретного твердого тела
,
где — масса i-го элемента тела; ri — расстояние этого элемента от оси вращения; N — число элементов тела;
в) сплошного твердого тела
.
Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то
и ,
где V — объем тела.
• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
Тело | Ось, относительно которой определяется момент инерции | Формула момента инерции |
Однородный тонкий стержень массой т и длиной l | Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню | |
Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню | ||
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу | Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания | |
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т | Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания | |
Однородный шар массой т и радиусом R | Проходит через центр шара |
• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси:
,
где J 0 — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела.
|
|
• Момент импульса вращающегося тела относительно оси:
.
• Закон сохранения момента импульса:
,
где Li — момент импульса i -го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел:
где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: — те же величины после взаимодействия.
Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется:
,
где — начальный и конечный моменты инерции; — начальная и конечная угловые скорости тела.
• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:
,
где — момент силы, действующей на тело в течение времени dt;
J — момент инерции тела; — угловая скорость; — момент импульса.
В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид
,
где — угловое ускорение.
• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело:
A=Mj,
где j — угол поворота тела.
• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,
.
• Кинетическая энергия вращающегося тела
.
• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:
,
где — кинетическая энергия поступательного движения тела; v — скорость центра инерции тела; ,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость v 0 системы координат К' относительно системы К направлена вдоль общей оси хх'.
• Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня:
где l 0 — длина стержня в системе координат К',относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х'; l — длина стержня, измеренная в системе К,относительно которой он движется со скоростью ; с — скорость распространения электромагнитного излучения.
• Релятивистское замедление хода часов
|
|
,
где Δ t 0 — интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы , измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δ t — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.
• Релятивистское сложение скоростей
,
где — относительная скорость (скорость тела относительно системы K '); — переносная скорость (скорость системы K ' относительно К), — абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).
В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.
• Релятивистский импульс:
.
• Полная энергия релятивистской частицы
,
где T — кинетическая энергия частицы; — ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если .
• Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы:
.
• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы
.
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
• Уравнение гармонических колебаний:
где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t — время; А, ω, φ — соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная фаза колебаний; — фаза колебаний в момент t.
• Угловая частота колебаний:
, или ,
где ν и Т — частота и период колебаний.
• Скорость точки, совершающей гармонические колебания:
.
• Ускорение при гармоническом колебании
.
• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле:
где А 1и А 2 — амплитуды составляющих колебаний; φ 1 и φ 2— их начальные фазы.
• Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы:
.
• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν 1 и ν 2,
.
• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A 1 и A 2 и начальными фазами φ 1 и φ 2:
.
• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:
, или ,
где m — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы ().
• Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:
.
• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник):
,
где m — масса тела; k — жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).
Период колебаний математического маятника
,
где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника
,
где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний; — приведенная длина физического маятника.
Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.
Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити:
,
где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; K — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.
• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
или ,
где r — коэффициент сопротивления; δ — коэффициент затухания: ; ω 0— собственная угловая частота колебаний .
• Уравнение затухающих колебаний:
где A(t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω — их угловая частота.
• Угловая частота затухающих колебаний:
.
• Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
,
где А 0 — амплитуда колебаний в момент t =0.
• Логарифмический декремент колебаний:
,
где A(t) и A(t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.
• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
или ,
где — внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F0 — ее амплитудное значение; .
• Амплитуда вынужденных колебаний:
.
• Резонансная частота и резонансная амплитуда:
и .