Постановка и решение задач

Решение задач состоит в получении определенных результатов. Это относится к в работе, жизни или учебе: сдача экзаменов, написание сочинений, выполнение чертежей, изготовление приборов, инстру­ментов и машин, сбор урожая, накопление капитала и т. п. - все это получение или достижение результатов.

Ключом к любой задаче является способ решения, дающий необ­ходимые результаты. Знание способов решения и умение их приме­нять для решения практических задач - важнейшая характеристика профессиональной квалификации.

Результаты правильные, если они отвечают требованиям решае­мых задач. Однако, если требования сформулированы недостаточно четко, то нельзя однозначно судить о правильности полученных ре­зультатов.

Результаты неправильные, если они противоречат заданным требованиям. Как однозначно определить правильность результатов? Ответ: для этого необходима точная постановка задач с четким выделением требований.

Для решения задач необходимо определение:

1) что требуется?

2) что дано?

Ответ на первый вопрос - что требуется? - точное определение требуемых результатов. При отсутствии требований к конечным целям оценка полученных результатов может быть неоднозначной.

Ответ на второй вопрос - что дано? - определение исходных условий, при которых требуется получить результаты. Неоднознач­ность в определении исходных условий может привести к получе­нию неправильных результатов.

Рассмотрим задачу: «Добраться домой». Исходным будет место, где мы находимся, а требуемым - свой дом. Способов решения этой задачи может быть много, но правильные среди них только те, кото­рые обеспечат достижение своего дома.

Рассмотрим вторую задачу. «Решение уравнения 2×х+1 = 0». Здесь требуемым является корень уравнения. В качестве решения уравне­ния можно рассмотреть два числа х₁ = 1 и х₂ = -1/2. Правильным из них является то решение, при подстановке которого уравнение пре­вратится в тождество.

Подстановка первого числа х₁ = 1 в уравнение дает противоречие

2.(1) +1= 3 ¹ 0.

Следовательно, значение х₁ = 1 - это неправильное решение, так как оно противоречит требованиям и не может быть корнем уравне­ния.

Подстановка второго решения х₂ = -1/2 в уравнение дает тожде­ство

2.(-1/2) +1= 0.

Таким образом значение х₂ = -1/2 удовлетворяет исходному урав­нению и является правильным решением.

Способ решения правильный, если он дает правильные результаты. Для определения правильности способов решения задач необходима четкая постановка решаемых задач, в которых должны быть строго определены требуемые результаты.

Способ - неправильный, если его применение приводит к получе­нию неправильных результатов либо вовсе не дает никаких резуль­татов. Использование неправильных способов решения может вооб­ще не давать результатов.

Способы могут быть частными и общими. Частные способы дают конкретные решения частных задач. Частный способ может оказать­ся неприменимым для решения сходных задач, отличающихся дета­лями.

Общий способ может давать решения для целого класса задач, отвечающих определенным исходным условиям и отличающихся друг от друга конкретными исходными данными.

Так, для рассмотренной задачи решения уравнения 2-х + 1 = 0 можно использовать общий способ решения линейных уравнений вида а×х + b = 0:

х₀ = - b/а.

Применение этой формулы при а = 2, b = 1 дает решение х₀ = - b/а = -1/2, которое нам уже известно как правильное.

В правильности общего способа решения уравнений вида а×х + b = 0 можно убедиться подстановкой формулы х₀ = - b/а в само уравне­ние:

а×х + b º а×(- b/а) + b º -b + b º 0.

При постановке обобщенных задач кроме выделения требуемого необходимо определить исходные условия, при которых должно быть получено требуемое. В такой постановке задач должно быть опреде­лено, какие исходные условия будут считаться допустимыми, а ка­кие нет.

Постановка задачи:

1. Что дано?

2. Что требуется?

3. Что допустимо?

Приведем полное описание постановки рассмотренной выше за­дачи:

Задача: решить уравнение а-х + b = 0.

Треб: х - корень уравнения.

Дано: а, b - коэффициенты уравнения.

При: а ¹ 0.

Уравнения данного типа можно решать в общем виде с помощью электронных таблиц, применяя описанный общий метод решения и следующую калькуляцию:

	A	B	C	D
		уравнение:
		* х +		= 0
	корень:	х = -0.5

с расчетной формулой С3 = -С2/ А2.

Особую ценность для решения задач представляют обобщенные методы решения. Метод - единый способ решения некоторого класса задач. Знание методов позволяет находить решения для любой кон­кретной задачи данного класса.

Метод решения правильный, если он дает правильные результаты для любой задачи данного класса. Применение таких методов гаран­тирует правильность результатов для любой из задач данного класса.

Метод решения неправильный, если можно указать конкретную задачу данного класса, для которой применение метода даст непра­вильные результаты либо не даст результатов вовсе.

Например, для уравнения а×х + b = 0 формула х = - b/а не дает результата при а = 0. Но при значении а = 0 уравнение превращается в соотношение b = 0, что говорит о недопустимости этого значения. Следовательно, условием допустимости данных в рассматриваемой задаче будут значения а ¹ 0.

Правильность методов решения можно проверять на конкретных примерах. Достаточно привести хотя бы один контрпример, на кото­ром способ или метод дает неправильный результат, чтобы утверж­дать о неправильности метода решения в целом.

Однако демонстрация правильности результатов на двух-трех при­мерах не может служить достаточным основанием для утверждений о правильности метода или способа решения в целом.

Полное обоснование правильности методов решения дает только исчерпывающий анализ результатов, получаемых с их помощью для любых задач данного класса. Пример - приведенное выше обосно­вание общего метода решения линейных уравнений.

В общем случае обоснование правильности обобщенных методов решения требует математического исследования получаемых резуль­татов и математического доказательства их правильности для всех конкретных случаев.