Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа

1. Формула Пуассона

Использование формулы Бернулли при больших значениях и вызывают большие трудности. Например, при 1000 подбрасываниях монеты необходимо определить вероятность того, что «герб» выпадет ровно 150 раз. В этом случае , , (выпадение «герба»), (выпадение «решки»). Формула Бернулли примет вид: .

Вычисления будут очень громоздкими, поэтому возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления , обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; они содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления вероятности при .

Теорема Пуассона. Если число испытаний неограниченно увеличивается и вероятность наступления события в каждом испытании неограниченно уменьшается , но так, что их произведение является постоянной величиной , то вероятность удовлетворяет предельному равенству

или

, .

Формулу Пуассона обычно используют в случае, когда λ 10.

Пример 1. Завод отправляет в некоторый город 1500 автомобилей. Вероятность того, что в пути машина может получить повреждение, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более 4-х автомобилей.

Решение. Событие – в пути будет повреждено не более 4-х автомобилей, т.е. 0, 1, 2, 3, 4.

, , .

По формуле Пуассона

2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность может быть вычислена по приближенным формулам:

где , .

Функция называется функцией Гаусса.

Свойства функции .

1. Функция - четная, т.е. = .

2. Функция - монотонно убывает, при можно считать, что .

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение. , , , .

Учитывая, что , получим

3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа

В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится не менее раз и не более раз, т.е. используют интегральную теорему Муавра – Лапласа.

Теорема. Если вероятность наступления наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность может быть найдена по приближенной формуле

где , специальная функция, называемая нормированной функцией Лапласа,

, .

Свойства функции .

1. Функция - нечетная, т.е. .

2. Функция монотонно возрастает, т.е. при можно считать, что .

Имеются таблицы приближенных значений функции , которыми удобно пользоваться для решения задач.

Пример 3. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия бракуется, т.е. возвращается в цех. Какова вероятность того, что партия будет принята?

Решение. , – вероятность бракованного изделия, – вероятность хорошего изделия.