Самомоделируемые системы

Раздумывая над этими рекурсивными моделями⁴, заливами вну­три заливов, Мандельброт назвал этот феномен "фрактально-стью". Что интересно в отношении фракталов, так это то, что они показывают, что система может постоянно повторять свои модели в различных масштабах или шкалах. Другими словами, является самомоделируемой.

⁴ Рекурсивная модель (recursive model) — динамическая модель, облада­ющая математическим свойством рекурсии, т. е. если даны, например, все переменные модели до момента (t— 1), то модель обеспечивает и по­лучение одного за другим значений переменных для t, по ним для (t+1) и т. д. — Прим. научи, ред.

Побережье Британии, конечно, следует рассматривать, как неподвижный феномен. Но фракталы можно обнаружить и в ди­намических системах. Подходящим примером служит струнный инструмент, такой как гитара. Мы ударяем по струне, и она изда­ет звук определенного тона. Но, когда мы двигаем палец вверх по грифу гитары, тональность увеличивается, и на двенадцатом ла­ду тоны начинают повторять самих себя, но уже в более высокой октаве. Мы сталкиваемся с явлением, в котором гармоническая система, по существу, повторяет саму себя на разных шкалах. Другими словами, такая система самомоделируемая.

Или рассмотрим движения океана. На поверхности воды мы видим зыбь, нечто среднее между зыбью и волнами и, наконец, сами волны, каждая седьмая из которых часто больше осталь­ных. Если трение ветра о воду приводит к таким явлениям, как зыбь, волны и "суперволны", можно говорить об этом феноме­не, как обладающем признаками фрактальности. Но это опреде­ление оправдывается только в том случае, если причиной подоб­ного явления феномена был только ветер.

Уникальность метода Мандельброта в том, что он не стремил­ся изучать только это явление в пределах только вполне опреде­ленных границ (например, химиков не допускают к профессио­нальным исследованиям в области ядерной физики, хотя пред­мет изучения может быть описан химическими формулами), а пытался понять всю структуру в целом, рассматривая ее с точ­ки зрения проявления эффекта бифуркации (процесса разветв­ления), который она производила. Точно таким же образом мы можем считать зыбь "крохотными волнами", хотя ее можно рас­сматривать и как всего лишь точки в целой рекурсивной структу­ре, возникшей в результате ветра. А как насчет волн, возникаю­щих в результате приливоотливных явлений? Они также возни­кают благодаря фрактальному феномену? Хотя они возникают на поверхности Земли, но в действительности мы знаем, что причина их происхождения кроется в гравитационном воздейст­вии Луны.