Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвестных x ₁, x ₂, …, x_{i - 1}.

Пусть получена эквивалентная система (1). Выберем произвольно начальные приближения корней . Далее, предполагая, что k -ые приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k + 1)-е приближения корней по формулам:

(5)

Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.

Пример 3. Методом Зейделя решить систему уравнений

Приведем эту систему к виду, удобному для итерации:

В качестве нулевых приближений корней возьмем:

Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:

Результаты вычислений с точностью до четырех знаков приведены в Таблице 1.

Таблица 1