Пересечения двух тел вращения

Линия взаимного пересечения двух тел вра­щения, как правило, представляет собой прост­ранственную кривую линию (см. рис. 308), но может быть и плоской кривой: окружностью (см. рис. 309, 310, 311) или эллипсом (см. рис. 307,5; 312; 313; 314). В зависимости от взаимного расположения геометрических тел их поверхности могут пересечься по одной или двум замкнутым кривым линиям.

В зависимости от формы поверхности тел вращения линия взаимного пересечения может быть видимой на одной проекции, если пересе­каются две проецирующие поверхности (рис. 307); на" двух проекциях, если одно из двух тел имеет проецирующую поверхность (см. рис. 312); на трех проекциях, если оба тела имеют непроецирующие поверхности (рис. 308).

Во всех случаях построение линии взаимного пересечения начинают с нахождения характер­ных точек, а обводку этой линии — с определения границы видимости и точек, в которых кривая касается очерков поверхностей. Построение промежуточных точек выполняют либо с помо­щью вспомогательных секущих плоскостей, которые проводят так, чтобы они пересекли одновременно боковые поверхности двух тел по простым линиям: прямым (образующим) и ок­ружностям, либо (при определенных усло­виях) с помощью вспомогательных сфер. В не­которых случаях, когда одна или обе поверх­ности являются проецирующими, можно стро­ить точки, принадлежащие линии взаимного пе­ресечения, «по принадлежности», используя образующие и параллели.

Построение линии взаимного пересечения по­верхностей цилиндров начинают со сравнения диаметров их оснований. На рис. 307 изобра­жены три вертикальных цилиндра (А, Б и В) разных диаметров, поверхности которых пересе­каются с поверхностью половины горизон­тально расположенного цилиндра. Поверх­ности всех цилиндров проецирующие, поэтому на плоскости Н горизонтальные проекции ли­ний взаимного пересечения совпадают с гори­зонтальной проекцией боковых поверхностей трех вертикальных цилиндров и проекциями окружностей их оснований. На плоскости W профильные проекции линий взаимного пере­сечения совпадают с проекцией полуокружности линии основания и профильной проекцией бо­ковой поверхности горизонтально расположен­ного полуцилиндра. На плоскости V, где боко­вые поверхности всех цилиндров проециру­ются в прямоугольники, линии взаимного пере­сечения изобразятся как кривые линии, которые нужно построить.

Рассмотрим, какая получается линия взаим­ного пересечения цилиндров в зависимости от соотношения их диаметров. Если пересекаются два цилиндра разных диаметров, то линия их пересечения представляет собой кривую линию, кривизна которой зависит от разности диамет­ров. Чем больше разность, тем меньше кривиз­на, и наоборот. При этом изгиб кривой всегда идет в сторону поверхности, имеющей больший диаметр, так как цилиндр с меньшим диаметром как бы проходит через поверхность цилиндра с большим диаметром, вынимая часть его по­верхности. Так на рис. 307 цилиндр А прохо­дит сквозь поверхность горизонтального полу­цилиндра и изгиб кривой идет как бы по краю отверстия в поверхности горизонтального полу­цилиндра. Цилиндр В имеет диаметр больше, чем у горизонтального полуцилиндра, и изгиб линии пересечения идет как бы по краю от­верстия в поверхности вертикального цилинд­ра В.

Если же диаметры цилиндров одинако­вые, то линия взаимного пересечения изобража­ется прямыми линиями, имея в действительно­сти форму эллипсов. На рис. 307 цилиндр Б имеет такой же диаметр, как и горизонтальный полуцилиндр. Линия их взаимного пересечения будет половинками эллипсов, которые изобра­жаются как два отрезка.

Для построения точек, принадлежащих ли­нии взаимного пересечения поверхностей этих цилиндров, сначала отмечают характерные точки 1׳, 2', а', Ь', k'', лежащие в пересечении крайних контурных образующих на фронталь­ной проекции. Затем с помощью линий про­екционной связи строят точки 3' и 4', с' и d'. Сначала они отмечаются на профильной про­екции (3", 4", с" и d") как точки, в которых крайние контурные образующие вертикаль­ных цилиндров пересекаются с контурной полуокружностью основания горизонтально­го полуцилиндра, с которой совпала про­фильная проекция его боковой поверхно­сти. Точки е' и f ' строят с помощью линий проекционной связи, проведенных с горизон­тальной проекции от точек е и f. В этих точ­ках контурные образующие полуцилиндра пе­ресекают боковую поверхность цилиндра В. Промежуточные точки 5', 6', 7', 8' (цилиндр А) и точки п', т' (цилиндр В) построены с по­мощью линий проекционной связи, проведенных с профильной проекции, где они получились в пересечении промежуточных, произвольно взятых и симметрично расположенных обра­зующих вертикальных цилиндров A и Б с бо­ковой поверхностью горизонтального полуци­линдра (5", 6", 7", 8", п", т").

В прямоугольной изометрической проекции видно, что линии взаимного пересечения боко­вых поверхностей цилиндров A и В с боковой поверхностью горизонтального полуцилиндра представляют собой пространственную кривую. Боковая поверхность цилиндра Б пересекается с боковой поверхностью горизонтально распо­ложенного полуцилиндра по двум плоским кри­вым — половинкам эллипсов.

Построение линии взаимного пересечения по­верхностей вращения с помощью дополнитель­ных секущих плоскостей выполнено на рис. 308, где заданы конус и шар. Здесь рассматривается построение линии взаимного пересечения двух

поверхностей, из которых ни одна не является проецирующей. Построение точек, принадле­жащих линии пересечения, начинают с опреде­ления и построения характерных точек. К ним относятся точки 1 — 8. Точки 1 и 2 сначала отмечают на фронтальной проекции (1 ' и 2') как точки пересечения крайних образующих конуса с фронтальным меридианом, лежащим в одной с ними плоскости Q. Затем эти точки с помощью линий проекционной связи строят на горизонтальной и профильной проекциях. Для построения точек 3, 4, 5 и 6 через верши­ну конуса проводят профильную плоскость Р, которая пересечет поверхность конуса по обра­зующим, а поверхность шара — по окруж­ности. Профильные проекции этих образующих конуса будут крайними, а проекцию окруж­ности, по которой пересекается шар, проводят радиусом, измеренным на фронтальной проек­ции по следу плоскости Р_ѵ от горизонтальной центровой линии шара до его контурной линии. Профильная проекция окружности пересекает­ся с проекциями крайних образующих конуса в точках 3", 4", 5", 6". Эти точки будут про­фильными проекциями искомых точек. С помо­щью линий проекционной связи строят их фрон­тальные (3 ', 4', 5', 6') и горизонтальные (3, 4, 5, 6) проекции.

Точки 7 и 8 строят сначала на горизонталь­ной проекции как точки пересечения экватора шара с окружностью (параллелью) конуса, ле­жащими в одной плоскости R. Затем эти точки строят на фронтальной и профильной проекциях с помощью линий проекционной связи.

Точки 9 и 10, 11 и 12, 13 и 14 строят с по­мощью вспомогательных секущих плоскостей N, Т, М, которые проводят параллельно плос­кости Н так, что они пересекают и шар, и ко­нус по окружностям (параллелям). Точки пере­сечения горизонтальных проекций двух парал­лелей, лежащих в каждой из плоскостей N, Т, М, определяют горизонтальные проекции искомых промежуточных точек. Так, например, горизонтальные проекции точек 9 и 10 находят в пересечении горизонтальных проекций парал­лели шара и параллели конуса, лежащих в плоскости N. По горизонтальным проекциям точек 9, 10, 11, 12, 13 и 14 с помощью линий проекционной связи строят их фронтальные и профильные проекции. Затем все точки после­довательно от руки соединяют плавной кривой линией и обводят по лекалу. Приступая к обвод­ке построенной линии взаимного пересечения, сначала определяют ее видимость. Так, на фрон­тальной проекции видимая и невидимая поло­винки линии сливаются в одну видимую линию. На горизонтальной проекции видимой будет та часть линии, которая находится на фрон­тальной проекции над экватором шара, а часть линии, расположенная ниже экватора, будет невидимой.

Границей видимости являются точки 7 и 8, лежащие на экваторе. На профиль­ной проекции границей видимости будут точки 3" и 4", 5" и 6" ', лежащие на крайних обра­зующих конуса. На фронтальной проекции эти точки находятся на образующих, совпадающих с осью конуса. Участки кривых линий 4"6" и 3"5" будут видимыми.

В прямоугольной изометрической проекции линия взаимного пересечения поверхностей ко­нуса и шара построена с помощью вторичных горизонтальных проекций точек 1 — 14, постро­енных на изометрической проекции основания конуса, и прямых, параллельных направлению оси Oz, проведенных от вторичных проекций точек. На этих прямых откладывают расстоя­ния, взятые от оси Ох до фронтальных про­екций каждой точки.

Границей видимости ли­нии взаимного пересечения будет правая кон­турная образующая конуса. Точки 1, 3, 9, 7, 5, 11 и 13 и участки кривой линии, лежащие между ними, будут видимыми. Так как по­верхности конуса и шара частично пересекают друг друга, то образуется одна замкнутая пространственная кривая линия.

Частные случаи взаимного пересечения двух поверхностей вращения показаны на рис. 309... 314.

Если тела вращения имеют одну общую ось, то линия их взаимного пересечения будет пред­ставлять собой окружность — общую парал­лель для двух тел вращения, которая на ортогональных проекциях будет изображаться на одной проекции как окружность, а на других — как прямая линия (рис. 309—311). Для построе­ния проекций линий пересечения достаточно определить точки взаимного пересечения кон­турных линий заданных геометрических тел на соответствующих проекциях и соединить их пря­мой линией

.

Если у двух поверхностей вращения оси пе­ресекаются и вспомогательная сфера, взятая с центром в точке пересечения этих осей, каса­ется одновременно поверхностей двух заданных тел, то линия их взаимного пересечения рас­падется на две плоские кривые линии — эл­липсы. В ортогональных проекциях пересе­кающиеся оси двух заданных тел должны быть расположены параллельно какой-либо плоско­сти проекций, тогда линия их пересечения спроецируется как две пересекающиеся пря­мые (рис. 312—314). На рис. 312 и 313 линия пересечения распалась на два эллипса различ­ной величины. На рис. 312 они видны на про­фильной проекции, а на рис. 313 — на гори­зонтальной проекции. В зависимости от формы поверхности геометрических тел и их взаимного расположения линия пересечения может распасться на два эллипса одинаковой вели­чины, как показано на рис. 314. Эти эллипсы хорошо видны на горизонтальной проекции.

Построение линии взаимного пересечения по­верхностей вращения с помощью вспомогатель­ных концентрических сфер выполнено на рис. 315, где заданы два пересекающихся прямых круговых конуса.

Этот способ можно применять в том случае, если пересекаются два тела вращения и их оси пересекаются и расположены параллельно ка­кой-либо плоскости проекций.

Построение линии взаимного пересечения двух тел вращения начинают с определения на одной и построения на других проекциях то­чек, в которых пересекаются крайние обра­зующие заданных геометрических тел. На рис. 315 этими точками являются точки 1, 2, 3, 4, отмеченные сначала на фронтальной
проекции, а горизонтальные проекции 1, 2, 3, 4 построены с помощью линий проекционной

связи. Остальные точки построены с помощью концентрических сфер. Центр этих сфер берется в точке пересечения осей (точка о').

Сфера пересекается с каждым из конусов по двум окружностям, которые в данном случае изображаются на фронтальной проекции как отрезки, перпендикулярные осям соответствую­щих конусов. Для построения этих отрезков необходимо определить точки пересечения кон­турной линии сферы с контурными линиями каждого конуса и соединить их. Таким обра­зом, две линии пересечения одного конуса со сферой и две линии пересечения второго конуса с той же сферой пересекутся между собой. Точ­ки их пересечения и будут искомыми точками, принадлежащими линии взаимного пересече­ния. Разберем это на примере построения то­чек 9' и 10', совпадающих на фронтальной проекции. Эти точки получились в результате пересечения проекции а'b' окружности, по которой пересекается горизонтально располо­женный конус со сферой; с проекцией c'd' окружности, по которой пересекается верти­кально расположенный конус с той же сферой. Так же строят и все остальные точки.

Количество вспомогательных концентриче­ских сфер определяется их необходимостью. Радиусы сфер берутся произвольно, но при этом нужно учитывать, что проекцию сферы с наименьшим радиусом проводят касательно к образующим большей поверхности, а про­екция сферы с наибольшим радиусом не долж­на проходить дальше, чем расположена наибо­лее удаленная крайняя точка, лежащая в пе­ресечении очерковых образующих. На рис. 315 такой точкой является точка 4'. Для определе­ния радиуса наименьшей сферы из точки о' опускают перпендикуляр на крайнюю образую­щую и получают точку касания k'. Расстояние ok' и будет искомым радиусом. Фронтальная проекция горизонтально расположенного кону­са имеет с проекцией касательной сферы общую окружность k'k׳₁, а проекция вертикально рас­положенного конуса пересекается с проекцией сферы наименьшего радиуса по двум окруж­ностям (проекции е'f׳ и п'т'), которые пере­секаются с проекцией k'k׳₁ окружности в точ­ках 5', 6' и 7', 8'.

На горизонтальной проекции точки 5...20 строят с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций этих точек до пересечения с проекциями окружно­стей, по которым концентрические сферы пере­секаются с поверхностью вертикально располо­женного конуса.

Точки, построенные на фронтальной и гори­зонтальной проекциях, соединяют от руки и об­водят по лекалу, предварительно определив их видимость. На фронтальной проекции (рис. 315) невидимая часть линии пересечения совпа­дает с видимой частью этой линии.

§ 38. ПОСТРОЕНИЕ ЧЕРТЕЖЕЙ МОДЕЛЕЙ,