Вращение точки, прямой и плоскости вокруг горизонтальной оси

При вращении вокруг горизонтальной оси точка А описывает в плоскости вращения Т окружность радиуса АК (рис. 4.5). Плоскость вращения является вертикальной плоскостью и проецируется на план в виде линии, перпендикулярной к проекции оси вращения. Центр вращения определяется как точка пересечения проекции плоскости вращения с проекцией оси вращения Т ∩ h₂ =К₂

Рис. 4.5

Если точку А повернуть вокруг оси h на угол β, то проекция точки на плане переместится по проекции плоскости вращения и займет положение А₃, при повороте на угол γ — положениеА₂и т. д.

На рис. 4.6 рассматривается случай вращения точки R вокруг горизонтальной оси h до совмещения ее с плоскостью Σ. Точка R будет принадлежать плоскости Σ, если она при вращении вокруг оси h окажется расположенной на прямой m, принадлежащей этой плоскости. Очевидно, что такой прямой может быть только линия пересечения плоскости Σ с плоскостью вращения Т. Построение осуществляется в следующем порядке. Проводим проекцию плоскости вращения Т перпендикулярно к проекции оси вращения: Т^ h₁. Определяем центр вращения — точку K₁. Тогда отрезок KR будет радиусом вращения этой точки. На профиле разреза, выполненного плоскостью Т, отмечаем положение вращаемой точки R, центра вращения К, а также линии т (В₂С₃) — линии пересечения плоскости вращения Т с заданной плоскостью Σ. Из точки К радиусом KR проводим дугу окружности до пересечения ее с профилем прямой т в точке R.. Определив на профиле разреза положение основания точки R°, а также высотную отметку, строим проекцию точки R на плане: |R^оК^о| = R_3,5К₁. Если точку R на разрезе вращать в противоположном направлении, можно получить второй вариант решения задачи.

Рис. 4.6

Рис. 4.7

На рис. 4.7 рассматривается случай вращения плоскости Σ вокруг горизонтальной оси h до совмещения плоскости с точкой А. При вращении плоскости Σ вокруг оси h надо добиться такого ее расположения в пространстве, чтобы одна из прямых, принадлежащих плоскости Σ, прошла через заданную точку А. Такой прямой является линия пересечения плоскости вращения Т, проведенной через точку А, с плоскостью Σ.

Проведем через точку R проекцию плоскости вращения Т перпендикулярно к проекции оси вращения h (следовательно, перпендикулярно и к плоскости Σ). Определяем центр вращения — точку K₄ и линию пересечения плоскости вращения с плоскостью Σ — линию m (A₂B₃). На профиле разреза отмечаем положение точки К и прямой т. При вращении плоскости Σ вокруг оси h прямая т будет перемещаться в плоскости Т, при этом точка N этой прямой, ближайшая к центру вращения К, перемещается по дуге окружности радиуса KN. Через точку R проводим касательную от к этой дуге. Определив на профиле разреза положение произвольных точек D и С прямой т, строим ее проекцию на плане: mº mº Т. Следует также отметить, что при вращении плоскости S вокруг оси h одна из точек плоскости останется неподвижной. Этой точкой является точка Е пересечения плоскости с осью вращения. Какое бы положение не занимала плоскость S при вращении вокруг оси h, горизонталь плоскости с отметкой 4 м будет проходить через эту точку.

При решении задач, связанных с определением истинной величины углов и площадей фигур, расположенных в наклонной плоскости, положение плоскости в пространстве изменяется путем поворота ее вокруг горизонтали h до положения, параллельного плоскости проекций (рис. 4.8). Для преобразования наклонной плоскости в горизонтальную достаточно повернуть только одну произвольно выбранную точку плоскости вокруг этой горизонтали. Применяя метод вращения плоскости вокруг горизонтали, необходимо помнить следующие положения:

Рис. 4.8

плоскость вращения Т перпендикулярна к оси вращения и, следовательно, на плане она изображена прямой линией, пересекающей проекцию горизонтали под углом 90°: T ^ h₂;

радиус вращения АК располагается в вертикальной плоскости Т. Следовательно, его проекция совпадает с проекцией этой плоскости: Т = А ₄K₂;

при горизонтальном расположении плоскости S радиус вра­щения вращаемой точки А займет тоже горизонтальное положение АК, следовательно, новая проекция точки A₂ на плане удалится от проекции центра вращения K₂ на расстояние, равное истинной длине этого радиуса: |A₂K₂| = |AK|.

На плане задачу решают в следующем порядке:

1) через точку A₄ проводят проекцию плоскости вращения: Т^h₂;

2) отмечают центр вращения — точку пересечения плоскости вращения с осью вращения: Т ∩ h₂ = К₂;

3) построив профиль радиуса вращения, определяют его истинную длину: |АК| = |K₂A₂^*|;

4) отложив на проекции плоскости Т от центра К₂ истинную длину радиуса |K₂A₂^*|, строят проекцию точки A₂. Точка A₂ и горизонталь h₂ определяют проекцию горизонтальной плоскости, отметка которой равна 2 м.

Метод вращения широко используется при решении ряда горно-геологических задач: определение угла, составленного двумя горными выработками или буровыми скважинами; проектирование горной выработки, пересекающей другую под заданным углом; определение угла между горной выработкой или скважиной и плоскостью слоя горной породы; определение кратчайшего расстояния от точки до наклонной прямой или истинной величины плоской фигуры.

Ниже рассматриваются примеры решения некоторых задач с применением метода вращения плоскости вокруг ее горизонтали.

Пример 1. Определить истинную величину угла, составленного прямыми т (B₇₀Ð30⁰) и п (B₇₀Ð 45°) (рис. 4.9). Прямые т и п моделируют пересекающиеся горные выработки или буровые скважины при определении угла между ними.

Рис. 4.9

Для определения истинной величины угла наклонную плоскость S (т ∩ n) вращением вокруг ее горизонтали преобразуют в горизонтальную. Вращаемой точкой следует взять вершину угла — точку В. При вращении плоскости точка В будет перемещаться по дуге окружности, точки М и N, лежащие на оси вращения, не изменят своего положения. Следовательно, при горизонтальном расположении плоскости стороны угла пройдут через те же точки М и N.

Решение

1. Проинтерполировав прямые т и п, проводят горизонталь h (A₃₀N₃₀), вокруг которой вращается плоскость S.

2. Отмечают проекцию центра вращения — точку К₃₀ и проек­цию радиуса вращения \K₃₀B₇₀\. Построением профиля определяют истинную длину радиуса: \КВ\ = \К₃₀В₃₀^*\.

3. Строят новую проекцию точки В₃₀, отложив от центра К₃₀ истинную длину радиуса вращения.

4. Точку В₃₀ соединяют прямыми линиями с неподвижными при вращении точками М₃₀ и Nзо плоскостями. Новая проекция угла, составленного горизонтальными прямыми т (В₃₀M₃₀) и п (ВзоN₃₀), конгруэнтна искомому углу ÐN₃₀B₀M₃₀= ÐN₃₀B₃₀M_30.

Пример 2. В этом примере мы рассмотрим обратную задачу. Через точку В надо провести прямую т, которая пересекла бы прямую п под углом 28° (рис. 4.10). (Данная задача решается при проектировании горной выработки, пересекающей другую под заданным углом).

Построение двух пересекающихся под заданным углом прямых, расположенных в наклонной плоскости Δ (B₄ n), не представляется возможным, так как угол, под которым прямые пересекаются, проецируется на плоскость проекций с искажением. Решение задачи значительно упрощается, если наклонную плоскость Δ вращением вокруг ее горизонтали преобразовать в горизонтальную Δ. Построив в горизонтально расположенной плоскости Δ угол заданной величины, плоскость вращают в обратном направлении до занятия ею своего исходного положения.

Рис. 4.10

Решение

1. Проинтерполировав прямую п, строят горизонталь h₄ плоскости Δ.

2. В качестве точки вращения берем точку А и, определив истинную длину радиуса вращения этой точки, строим ее новую проекцию А₄. Проекция прямой п пройдет через точку А₄ и неподвижную при вращении прямой точку С₄.

3. Через точку В проводим прямую m, которая пересекает прямую п под углом 28°. Отмечаем точку Е их пересечения и, проведя через нее плоскость вращения Т, находим положение точки Е на прямой m.

4. Соединив на плане проекции точек В и Е прямой линией, строим проекцию прямой m (B₄E₂).

Пример 3. Определить истинную величину угла, составленного прямой а и плоскостью S (А₁₇₀B₁₂₀C₁₅₀) (рис. 4.11). (Данная задача позволяет определить угол, составленный буровой скважиной и плоскостью слоя горной породы).

Углом между прямой а и плоскостью S называют острый угол b, составленный данной прямой и ее прямоугольной проекцией а^S на эту плоскость. Определение истинной величины угла b очень длинно и громоздко. Значительно проще определяется угол g, дополняющий угол b до 90°: b+g = 90°, откуда b = 90°— g.

Решение

1. Из точки F опускают перпендикуляр b на плоскость S, соблюдая условия: b^h₂₇₀, l^b=1/l^S, пад.D.

2. В плоскости L (a ∩ b) проводят горизонталь h^l (N₂₇₀M₂₇₀). Вращением точки F вокруг этой горизонтали наклонную плоскость L преобразуют в горизонтальную L. Вершина дополнительного угла g займет при этом положение F₂₇₀.

Рис. 4.11

3. Проекцию вершины F₂₇₀ соединяют прямыми а и b с точками M₂₇₀ и N_270, которые при вращении плоскости L оставались неподвижными. Построенный угол g, как говорилось выше, дополняет искомый до 90°. Дополнив угол g до 90°, получают искомый угол b.

Пример 4. Определить истинную величину двугранного угла S m L; построить проекцию его биссекторной плоскости (рис. 4.12). (Подобные задачи также встречаются в геологической практике при определении угла складки, угла, составленного плоскостью слоя горной породы и плоскостью геологического нарушения, и др.). Величина двугранного угла определяется линейным углом, составленным прямыми a и b пересечения его граней с плоскостью Т, перпендикулярной к ребру т. Биссекторная плоскость двугранного угла пройдет через ребро т и биссектрису b линейного угла μ.

Рис. 4.12

Решение

Строят проекцию линейного угла μ, которым измеряют двугранный угол S mL. Через точку А перпендикулярно к ребру т проводят вспомогательную плоскость Т, соблюдая условия:

h^T ^ m, l ^T=1/ l^m, пад.D.

Плоскость Т пересекает полуплоскости S и L (грани угла),'по полупрямым а и d, которые и являются сторонами искомого угла μ.

2. Истинную величину угла μ определяют методом вращения плоскости Т вокруг ее горизонтали h₉. Точки Е и F, расположенные на оси вращения, не изменяют своего положения при вращении плоскости, точка А переместится по дуге окружности, проекция которой совпадает с проекцией ребра т. Истинную длину радиуса вращения точки А определяют построением его профиля: \КА\ =|K₉A₉^*|. Новая проекция угла, составленного полупрямыми а и d, равна его истинной величине.

3. Через точку A₉ проводят биссектрису b линейного угла до пересечения ее с осью вращения в точке C₉. Если плоскость Т вращать в обратном направлении, то проекция биссектрисы займет положение b (A₁₀C₉). Биссектриса b и ребро т, как две пересекающиеся прямые, определяют в пространстве биссекторную плоскость y (m ∩ b) двугранного угла S m L.

4. Горизонталь h₉ плоскости y определяется точками В и С, имеющими одинаковые числовые отметки. Вторую горизонталь h₁₀, проводят через точку А параллельно первой. Следует помнить, что y является полуплоскостью, поэтому ее горизонтали — полупрямые.

Пример 5. Определить истинную величину четырехугольника ABCD, лежащего в наклонной плоскости S (рис. 4.13).

Заметим предварительно, что сторонами четырехугольника являются отрезки прямых т, п, t, построение которых возможно по любым их точкам.

Рис. 4.13

Решение

1. За ось вращения выбираем горизонталь плоскости, проходящую через вершину D, которая останется неподвижной при вращении. Определив истинную длину радиуса вращения произвольно взятой точки Е плоскости, строят ее новую проекцию Е.

2. Сторона AD₂ является отрезком прямой т. Новую проекцию этой прямой можно построить по точке E₂ и точке D₂. Для построения новой проекции точки А, принадлежащей этой прямой, проводим проекцию плоскости вращения этой точки — Т, пересечение которой с проекцией прямой т и определит точку A₂.

3. Прямая п, отрезок АВ которой является стороной четырехугольника, может быть определена точками F₂ и A ₂. Точка F₂ при вращении плоскости остается неподвижной. Искомая проекция п, таким образом, пройдет через точки F₂ и A₂. Аналогично точке A₂ определяем проекцию вершины В₂.

4. Вершина С, находящаяся на прямой t, строится точно таким же образом. Построенная проекция четырехугольника равна его истинной величине: A₂B₂C₂D₂ = ABCD.