2015-03-27
258
Цель: Расширить диапазон знаний студентов по теме переходных процессов.
Задача: дать навыки расчета переходных процес сов по методу переменных состояния.
Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.
Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.
Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.
К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:
-независимость уравнений;
-возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.
Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.
|
|
|
Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.
При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные 
и 
с самими переменными 
и 
и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.
Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид
 ;
| (2) |
 .
| (3) |
Здесь 
и 
- столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; 
- матрица-столбец источников внешних воздействий; 
- столбцовая матрица выходных (искомых) величин; 
- квадратная размерностью n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; 
- прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); 
- прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); 
- прямоугольная размерностью к x m матрица связи входа с выходом.
|
|
|
Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений (0).
В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи 
и 
.
По законам Кирхгофа для данной цепи запишем
 ;
| (4) |
 ;
| (5) |
 .
| (6) |
Поскольку 
с учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в виде
или в матричной форме записи
.
| А | В |
Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):
.
| С | D |
Вектор начальных значений (0)= 
.
Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.
