Величина (количество) 5 страница

в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь необходимо показать, какой интерес преследует это действие. Такое рассмотрение может нам дать лишь знакомые уже результаты, какие по своей форме имеются особенно в понимании этого предмета Лагранжем; но я придал изложению совершенно элементарный характер, чтобы устранить приметавшиеся сюда чужеродные определения. - Основой для действий над уравнением указанного вида оказывается то, что степень внутри самой себя понимается как отношение, как система определений отношения. Степень, указали мы выше, есть число, поскольку его изменение определено им же самим, его моменты, единица и численность, тождественны, - полностью, как мы выяснили ранее, прежде всего в квадрате, более формально (чтб не составляет здесь разницы) - в более высоких степенях. Степень, ввиду того что она как число (хотя бы и предпочитали термин величина как более всеобщее, она в себе всегда есть число) есть множество и тогда, когда она изображена как сумма, может прежде всего быть разложена внутри себя на любое множество чисел, которые и относительно друг друга, и относительно их суммы имеют только то определение, что они все вместе равны этой сумме. Но степень может быть также разложена на сумму таких различий, которые определены формой степени. Если степень принимается за сумму, то как сумму понимают и ее основное число, корень, и оно может быть как угодно разложено, но это разнообразие разложения есть безразличное эмпирически количественное (Quantitative). Сумма, каковой должен быть корень, сведенная к своей простой определенности, т. е. к своей истинной всеобщности, есть двучлен; всякое дальнейшее увеличение числа членов есть не более как повторение того же определения и потому нечто пустое *. Важна здесь, стало быть, только качественная определенность членов, которая получается посредством возведения в степень корня, принимаемого за сумму; эта определенность заключается единственно лишь в изменении - в возведении в степень. Эти члены суть, следовательно, всецело функции возведения в степень и [самой] степени. Такое изображение числа как суммы множества таких членов, которые суть функции возведения в степень, а затем интерес - найти форму таких функций и, далее, эту сумму из множества таких членов, поскольку это нахождение должно зависеть только от указанной формы, - все это составляет, как известно, особое учение о рядах. Но при этом нам важно выделить еще другой интерес, а именно отношение самой лежащей в основании величины (определенность которой, поскольку она некоторый комплекс, т. е. в данном случае уравнение, заключает в себе некоторую степень) к функциям ее возведения в степень. Это отношение, совершенно абстрагированное от названного выше интереса [нахождения ] суммы, окажется вытекающей из действительной науки позицией (Gesichtspunkt) как единственной, имеющейся в виду дифференциальным исчислением.

Однако сначала нужно прибавить к сказанному еще одно определение или, вернее, устранить из сказанного одно заключающееся в нем определение. А именно, мы сказали, что переменная величина, в определение которой входит степень, рассматривается внутри ее самой как сумма и притом как система членов, поскольку последние суть функции возведения в степень, почему и корень рассматривается как сумма, а в своей просто определенной форме - как двучлен; хn= (у + z)n = (у + пуn-1z +...). Для разложения степени в ряд, т. е. для получения функций возведения в степень, эта формула исходила из суммы, как таковой; но здесь дело не идет ни о сумме, как таковой, ни о происходящем из нее ряде, а от суммы должно брать только соотношение. Соотношение величин, как таковое, есть то, что, с одной стороны, остается после абстрагирования от plus некоторой суммы, как таковой, и что, с другой стороны, требуется для нахождения функций, получающихся в результате разложения в степенной ряд. Но такое соотношение уже определено тем, что здесь предмет есть уравнение, что уn = ахn также есть уже комплекс нескольких (переменных) величин, содержащий их степенное определение. В этом комплексе каждая из этих величин всецело положена как находящаяся в соотношении, с другой со значением, можно было бы сказать, некоторого plus в ней самой - положена как функция прочих величин; их свойство быть функциями друг друга сообщает им это определение plus, но именно этим - определение совершенно неопределенного plus, a не приращения, инкремента и т. п. Мы, однако, могли бы также оставить без внимания этот абстрактный исходный пункт; можно совершенно просто ограничиться тем, что после того как переменные величины даны в уравнении как функции друг друга, так что эта определенность заключает в себе отношение степеней, теперь сравниваются между собой также и функции возведения в степень каждой из них, - каковые вторые функции определены не чем иным, как самим возведением -в степень. Можно сначала выдавать за желание или возможность сведение степенного уравнения переменных величин к отношению функций, получающихся в результате их разложения в ряд; лишь дальнейшая цель, польза, применение должны указать пригодность такого его преобразования; эта перестановка и вызвана единственно лишь ее полезностью. Если выше мы исходили из изображения этих степенных определений на примере такой величины, которая как сумма принимается за различенную внутри себя, то это, с одной стороны, служило лишь для того, чтобы указать, какого вида эти функции, с другой - в этом заключается способ их нахождения.

Мы имеем перед собой, таким образом, обычное аналитическое разложение в ряд, понимаемое для целей дифференциального исчисления так, что переменной величине дается приращение dx, i, а затем степень двучлена разлагается в соответствующий ряд. Но так называемое приращение должно быть не определенным количеством, а лишь формой, все значение которой сводится к тому, чтобы быть вспомогательным средством разложения в ряд. Стремятся же в этом случае - по признанию, определеннее всего выраженному Эйлером и Лагранжем и подразумеваемому в ранее упомянутом представлении о пределе, лишь к получающимся при этом степенным определениям переменных величин, к так называемым коэффициентам (эти коэффициенты суть, правда, коэффициенты приращения и его степеней, которые определяют последовательность ряда и к которым относятся различенные коэффициенты). При этом можно отметить, что так как приращение, не имеющее определенного количества, принимается лишь для целей разложения в ряд, то было бы всего уместнее обозначить его цифрой 1 (единицей), потому что приращение всегда встречается в разложении только как множитель, а множитель "единица" как раз и достигает той цели, чтобы приращение не приводило к какой-либо качественной определенности и к какому-либо количественному изменению, dx же, обремененное ложным представлением о некоторой количественной разности, и другие знаки, как, например, i, обремененные бесполезной здесь видимостью всеобщности, всегда выглядят как определенное количество и его степени и притязают на то, чтобы быть таковыми; это притязание приводит к стремлению, несмотря на это, избавиться от них, отбросить их. Для сохранения формы ряда, развернутого по степеням, можно было бы с таким же успехом присоединять обозначения показателей как indices к единице. Но и помимо этого необходимо абстрагироваться от ряда и от определения коэффициентов по месту, которое они занимают в ряде: отношение между всеми ими одно и то же; вторая функция - производная от первой, точно так же как первая - от первоначальной, и для той, которая по счету вторая, первая производная функция есть в свою очередь первоначальная.

По существу же своему интерес составляет не ряд, а единственно лишь получающееся в результате разложения в ряд степенные определение в своем отношении к непосредственной для него величине. Стало быть, вместо того чтобы считать это определение коэффициентом первого члена разложения, было бы предпочтительнее (так как каждый член обозначается как первый относительно следующих за ним членов ряда, а такая степень в качестве степени приращения, как и сам ряд, не относится сюда) употреблять простое выражение "производная степенная функция", или, как мы сказали выше, "функция возведения величины в степень", причем предполагается, что известно, каким образом производная берется как заключенная внутри некоторой степени разложения.

Но если в этой части анализа собственно математическое начало есть не что иное, как нахождение функции, определенной через разложение в степенной ряд, то возникает еще один вопрос:

что делать с полученным таким образом отношением, каково применение его и пользование им, или [вопрос]: действительно, для какой цели ищут такие функции? Дифференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес именно тем, что оно находило такие отношения в конкретных предметах, сводимых к этим абстрактным аналитическим отношениям.

Но относительно применимости из самой природы сути вещей в силу вскрытого выше характера моментов степени само собой вытекает прежде всего следующее, еще до того, как будет сделан вывод из случаев применения. Разложение в ряд степенных величин, посредством которого получаются функции их возведения в степень, если абстрагироваться от более точного определения, отличается прежде всего вообще тем, что величина понижается на одну степень. Такое действие, следовательно, находит применение в таких предметах, в которых также имеется такое различие степенных определений. Если будем иметь в виду пространственную определенность, то найдем, что она содержит те три измерения, которые мы, чтобы отличить их от абстрактных различий высоты, длины и ширины, можем обозначить как конкретные измерения, а именно линию, поверхность и тотальное пространство; а поскольку они берутся в их простейших формах и в соотношении с самоопределением и, стало быть, с аналитическими измерениями, то мы получаем прямую линию, плоскостную поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет эмпирическое определенное количество, но с плоскостью появляется то, чтб обладает качеством, степеннбе определение; более детальные видоизменения, например то, что это происходит уже и с плоскими кривыми, мы можем оставить без рассмотрения, поскольку здесь дело идет прежде всего о различии лишь в общем виде. Тем самым возникает также потребность переходить от более высокого степенного определения к низшему

Видимость случайности, представляемая дифференциальным исчислением в разном его применении, упростилась бы уже пониманием природы сфер применения и специфической потребности и условия этого применения. Но в самих этих сферах важно далее знать, между какими частями предметов математической задачи имеет место такое отношение, которое специфически полагается дифференциальным исчислением. Пока что мы сразу должны заметить, что при этом нужно принимать во внимание двоякого рода отношения. Действие понижения степени уравнения, рассматриваемое со стороны производных функций его переменных величин, дает результат, который в самом себе поистине есть уже не уравнение, а отношение. Это отношение составляет предмет собственно дифференциального исчисления. Но именно поэтому, во-вторых, здесь имеется также отношение самогб более высокого степеннбго определения (первоначального уравнения) к низшему (производной функции). Это второе отношение мы должны оставить пока без внимания; впоследствии оно окажется предметом, характерным для интегрального исчисления.

Рассмотрим сначала первое отношение и для определения момента, в котором заключается интерес действия (это определение должно быть заимствовано из сферы так называемого применения), возьмем простейший пример кривых, определяемых уравнением второй степени. Как известно, отношение координат в степеннбм определении дано непосредственно уравнением. Следствиями основного определения являются определения других связанных с координатами прямых линий: касательной, подкасательной, нормали и т. п. Но уравнения между этими линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, в качестве частей которых определены указанные линии, - это прямоугольные треугольники, составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего определение, к этим линейным уравнениям содержит указанный выше переход от первоначальной функции, т. е. от той функции, которая есть уравнение к производной функции, которая есть отношение и притом отношение между теми или иными содержащимися в кривой линиями. Связь между отношением этих линий и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.

Небезынтересно отметить относительно истории [дифференциального исчисления ], что первые открыватели умели указать найденное ими решение лишь всецело эмпирически, не будучи в состоянии объяснить само действие, оставшееся совершенно внешним. Я ограничиваюсь здесь указанием на Барроу, учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи высшей геометрии по методу неделимых, отличающемуся прежде всего от того, что составляет особенность дифференциального исчисления, он излагает также свой метод определения касательных, "так как на этом настаивали его друзья" (lect. X). Нужно прочесть у него самого, как он решает эту задачу, чтобы составить надлежащее представление о том, каким образом этот метод дан как совершенно внешнее правило - в том же стиле, как в учебниках арифметики прежде излагалось тройное правило или, еще лучше, так называемая проба арифметических действий девяткой. Он чертит те маленькие линии, которые впоследствии были названы [бесконечно малыми] приращениями в характеристическом треугольнике кривой, и затем в виде простого правила предписывает отбросить как излишние те члены, которые в ходе развертывания уравнения выступают как степени указанных приращений или как произведения (etenim isti termini nihilum valebunt) 115, а также следует отбросить те члены, которые содержат величины, определяемые лишь на основе первоначального уравнения (последующее вычитание первоначального уравнения из уравнения, составленного вместе с приращениями), и, наконец, заменить приращение ординаты самой ординатой и приращение абсциссы - подкасательной. Нельзя, если позволительно так выразиться, изложить способ более школьно-педантически; последняя подстановка - это допущение пропорциональности приращений ординаты и абсциссы ординате и под-касательной, сделанное в обычном дифференциальном методе основой определения касательной; в правиле Барроу это допущение выступает во всей своей наивной наготе. Был найден простой способ определения подкасательной; приемы Роберваля и ферма сводятся к чему-то сходному - метод нахождения наибольших и наименьших значений, из которого исходил Ферма, покоится на тех же основаниях и на том же образе действия. Математической страстью того времени было находить так называемые методы, т. е. указанного рода правила, и притом делать из них секрет, что было не только легко, но в некотором отношении даже нужно, и нужно по той же причине, почему это было легко, а именно потому, что изобретатели нашли лишь эмпирически внешнее правило, а не метод, т. е. не то, чтб выведено из признанных принципов. Подобные так называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени; Ньютон также воспринял их от своего времени, а непосредственно - от своего учителя; обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но, занимаясь этим, они чувствовали также потребность освободить образ действия от формы чисто внешних правил и старались дать ему надлежащее обоснование.

Анализируя метод более подробно, мы увидим, что истинный ход действия в нем таков. Во-первых, степенные определения (разумеется, переменных величин), содержащиеся в уравнении, низводятся до их первых функций. Но этим меняется значение членов уравнения. Поэтому уже нет уравнения, а возникло лишь отношение между первой функцией одной переменной величины и первой функцией другой. Вместо рх = у2 мы имеем р: 2у или вместо lax - х2 = у2 имеем а - х: у, что впоследствии стали dv обычно обозначать как отношение x/y. Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от него и производное (выше - согласно одному лишь правилу) от него, есть, напротив, линейное отношение, которому пропорциональны определенные линии; р: 2у или а - х: у сами суть отношения прямых линий кривой, а именно отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали. Мы хотим знать о других встречающихся в кривой линиях, что им присуще указанное отношение, хотим найти равенство двух отношений. - Следовательно, вопрос, во-вторых, состоит в том, какие прямые линии, определяемые природой кривой, находятся в таком отношении? - Но это то, что уже ранее было известно, а именно, что такое полученное указанным путем отношение есть отношение ординаты к подкасательной. Древние нашли это остроумным геометрическим способом; изобретатели же нового времени открыли лишь эмпирический способ, как придать уравнению кривой такой вид, чтобы получилось то первое отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему ту линию (здесь - подкасательную), которая подлежит определению. Отчасти это придание уравнению желаемого вида было задумано и проведено методически дифференцирование, - отчасти же были изобретены воображаемые приращения координат и воображаемый, образованный из этих приращений и такого же приращения касательной характеристический треугольник, дабы пропорциональность отношения, найденного путем понижения степени уравнения, вместе с отношением ординаты и подкасательной была представлена не как нечто эмпирически взятое лишь из давно знакомого, а как нечто доказанное. Однако это давно знакомое оказывается вообще (а наиболее очевидно в указанной выше форме правил) единственным поводом и соответственно единственным основанием для допущения характеристического треугольника и указанной пропорциональности.

Лагранж отбросил это подобие доказательности (Simulation) и вступил на подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем, что усмотрели, в чем дело, так как он состоит в том, чтобы отделить друг от друга те два перехода, которые следует сделать для решения задачи, и рассматривать и доказывать каждую из этих сторон отдельно. Одна часть этого решения - при более подробном изложении хода действия мы продолжаем пользоваться как примером элементарной задачей нахождения подкасательной - теоретическая или общая часть, а именно нахождение первой функции из данного уравнения кривой, регулируется особо; эта часть дает некоторое линейное отношение, следовательно, отношение прямых линий, встречающихся в системе определения кривой. Другая часть решения состоит в нахождении тех линий в кривой, которые находятся в указанном отношении. Это теперь осуществляется прямым путем (Theorie des fonct. anal., p. II, ch. II), т. е. не прибегая к характеристическому треугольнику, а именно к бесконечно малым дугам, ординатам и абсциссам, и не давая им определений ау и dx, т. е. членов указанного отношения, а также не устанавливая в то же время непосредственно значения равенства этого отношения с самими ординатой и под-касательной. Линия (равно как и точка) имеет свое определение лишь постольку, поскольку она составляет сторону некоторого треугольника, и определение точки также имеется лишь в треугольнике. Это, скажем мимоходом, основное положение аналитической геометрии, которое приводит к координатам, или, чтб то же самое, в механике к параллелограмму сил, именно поэтому совершенно не нуждающемуся в больших усилиях доказать его. - Подкасательная теперь принимается за сторону треугольника, другие стороны которого составляют ордината и соотносящаяся с ней касательная. Последняя как прямая линия имеет своим уравнением р - aq (прибавление + Ь бесполезно для определения и делается лишь ради излюбленной всеобщности); определение отношения p/q есть а, коэффициент величины q, который есть соответственная первая функция уравнения, но который должен вообще рассматриваться лишь как а = p/q, т. е., как сказано, как сущностное определение прямой линии, применяемой как касательная к данной кривой. Далее, поскольку берется первая функция уравнения кривой, она также определение некоторой прямой линии; далее, так как р, одна координата первой прямой линии, и у, ордината кривой, отождествляются, стало быть, точка, в которой указанная первая прямая линия, принимаемая как касательная, соприкасается с кривой, есть также начальная точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в том, чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т. е. есть касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как у = fх и р = fq, а теперь принимается, что у=р, стало быть, fx=fQ,, то и f`x=F'Q. Что употребляемая как касательная прямая и та прямая линия, которая определена из уравнения его первой функцией, совпадают, что вторая прямая есть, следовательно, касательная, - это показывается с помощью приращения i абсциссы и приращения ординаты, определяемого разложением функции. Здесь, стало быть, также появляется пресловутое приращение; однако способ, каким оно вводится для только что указанной цели, и разложение функции по этому приращению следует отличать от упомянутого выше пользования приращением для нахождения дифференциального уравнения и для характеристического треугольника. Способ, каким оно применяется здесь, правомерен и необходим; он входит в круг геометрии, так как геометрическое определение касательной, как таковой, требует, чтобы между ней и кривой, с которой она имеет одну общую точку, не могло быть другой прямой линии, также проходящей через эту -точку. Ибо с принятием этого определения качество касательной или не-касательной сводится к различию по величине, и касательной оказывается та линия, на которую единственно с точки зрения важного здесь определения приходится большая малость. Эта на первый взгляд лишь относительная малость не содержит в себе ничего эмпирического, т. е. ничего зависящего от определенного количества, как такового; она качественно положена природой формулы, если различие момента, от которого зависит сравниваемая величина, есть различие в степени; так как последнее сводится к i и i2 и так как i, которое ведь в конце концов должно означать некоторое число, следует представлять затем как дробь, то i2 само по себе меньше, чем i, так что само представление, что i можно приписывать любую величину, здесь излишне и даже неуместно. Именно поэтому доказательство большей малости не имеет ничего общего с бесконечно малым, для которого, стало быть, вообще здесь нет места.

Я хочу здесь еще сказать о Декартовом методе касательных, хотя бы только ради его красоты и ради ныне скорее забытой, но вполне заслуженной его славы; впрочем, он имеет отношение и к природе уравнений, о которой мы должны будем затем сделать еще одно замечание. Декарт излагает этот самостоятельный метод, в котором искомое линейное определение также находят из той же производной функции, в своей оказавшейся и в других отношениях столь плодотворной геометрии (Oeuvres compl. ed. Cousin, torn V, liv. II, p. 357 и ел.), развивая в ней учение о широкой основе природы уравнений и их геометрического построения, а тем самым об основе анализа, в столь значительной степени применяемого к геометрии вообще. Проблема получает у него форму задачи - провести прямые линии перпендикулярно к любому месту кривой, чем определяется подкасательная и т. д. Вполне понятно чувство удовлетворения, выражаемого им по поводу своего открытия, которое касалось предмета всеобщего научного интереса того времени и, будучи всецело геометрическим, столь возвышалось над упомянутыми выше методами его соперников, содержащими одни только правила: "J'ose dire que c'est ceci le probleme le plus utile et le plus general, non seulement que je sache, mais шете que j'aie jamais desire de savoir en geometric"117. - При решении этой задачи он исходит из аналитического уравнения прямоугольного треугольника, образуемого ординатой той точки кривой, к которой должна быть перпендикулярна искомая прямая линия, затем ею же самой, нормалью, и, в-третьих, поднормалью, т. е. той частью оси, которая отрезается ординатой и нормалью. Из известного уравнения кривой в указанное уравнение треугольника подставляется затем значение ординаты или абсциссы; таким образом получается уравнение второй степени (и Декарт показывает, каким образом и те кривые, уравнения которых содержат более высокие степени, сводятся к уравнению второй степени), в котором встречается лишь одна из переменных величин и притом в квадрате и в первой степени, - квадратное уравнение, которое сначала предстает как так называемое нечистое уравнение. Затем Декарт рассуждает таким образом, что если мы представим себе рассматриваемую точку кривой точкой пересечения ее и круга, то этот круг пересечет кривую еще в другой точке и тогда получится для двух возникающих благодаря этому и неодинаковых х два уравнения с одинаковыми константами и одинаковой формы или же одно уравнение с неодинаковыми значениями х. Но уравнение делается одним уравнением лишь для одного треугольника, в котором гипотенуза перпендикулярна к кривой, т. е. оказывается нормалью, что представляют себе таким образом, будто обе точки пересечения кривой совпадают с кругом и, следовательно, круг соприкасается с кривой. Но тем самым устраняется также и неравенство корней х или у квадратного уравнения. В квадратном же уравнении с двумя одинаковыми корнями коэффициент члена, содержащего неизвестные в первой степени, вдвое больше одного лишь корня; это дает нам уравнение, посредством которого мы находим искомые определения. Этот способ следует признать гениальным приемом истинно аналитического ума - приемом, с которым не может сравниться принимаемая всецело ассерторически пропорциональность подкасательной и ординаты якобы бесконечно малым так называемым приращениям абсциссы и ординаты.

Полученное этим путем конечное уравнение, в котором коэффициент второго члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, есть то же уравнение, которое находят посредством приема, применяемого дифференциальным исчислением. Уравнение x1 - ax - b=0 после его дифференцирования дает новое уравнение 2х - а=0, а дифференцирование х3 - рх - 9=0 дает Зх2 - р = 0. Но здесь напрашивается замечание, что отнюдь не само собой разумеется, что подобное производное уравнение также и правильно. При уравнении с двумя переменными величинами, которые оттого, что они переменные, не теряют характера неизвестных величин, получается, как мы видели выше, лишь некоторое отношение, по той указанной простой причине, что подстановка функций возведения в степень вместо самих степеней изменяет значение обоих членов уравнения, и само по себе еще неизвестно, имеет ли еще место между ними уравнение при таких измененных dy значениях. Уравнение, = Р выражает лишь то, что Р есть dy отношение, и не надо приписывать никакого другого реального смысла. Но об этом отношении = Р также еще неизвестно, какому другому отношению оно равно; лишь такое уравнение, пропорциональность, сообщает ему значение и смысл. - Так же как (что было указано выше) значение, именуемое применением, берется извне, эмпирически, так и в тех выведенных путем дифференцирования уравнениях, о которых идет речь, для того чтобы знать, верны ли еще полученные уравнения, должно быть известно из какого-то другого источника, имеют ли они одинаковые корни. Но на это обстоятельство в учебниках не дается определенных и ясных указаний; оно устраняется тем, что уравнение с одним неизвестным [х], приведенное к нулю, тотчас же приравнивается к у, благодаря чему при дифференцировании dy получается, конечно, --, одно лишь отношение. Исчисление функций, конечно, должно иметь дело с функциями возведения в степень, а дифференциальное исчисление - с дифференциалами, но из этого само по себе вовсе еще не следует, что величины, дифференциалы или функции возведения в степень которых мы берем, сами также должны быть лишь функциями других величин. И кроме того, в теоретической части, там, где указывается, как должны быть выведены дифференциалы, т. е. функции возведения в степень, еще нет и мысли о том, что величины, оперировать с которыми, согласно такому способу их выведения, она учит, сами должны быть функциями других величин.

Относительно отбрасывания констант при дифференцировании можно еще отметить, что это отбрасывание имеет здесь тот смысл, что константа безразлична для определения корней в случае их равенства, каковое определение исчерпывается коэффициентом второго члена уравнения. Так, в приведенном Декартом примере константа есть квадрат самих корней, следовательно, корень может быть определен как из константы, так и из коэффициентов, поскольку вообще константа, как и коэффициенты, есть функция корней уравнения. В обычном изложении устранение так называемых констант (связанных с прочими членами лишь посредством знаков +- и -) достигается простым механизмом способа действия, состоящего в том, что для нахождения дифференциала сложного выражения приращение приписывается лишь переменным величинам и образованное благодаря этому выражение вычитается из первоначального. Смысл констант и их отбрасывания, вопрос, в какой мере они сами функции и служат ли они функциями по этому определению или нет, не подвергается обсуждению.

В связи с отбрасыванием констант можно сделать одно замечание относительно названий дифференцирования и интегрирования, сходное с тем, которое мы сделали раньше относительно выражений "конечное" и "бесконечное", а именно, что в их определении содержится скорее противоположное тому, что обозначает это выражение. Дифференцирование означает полагание разностей; но дифференцированием, наоборот, уменьшается число измерений уравнения и в результате отбрасывания константы устраняется один из моментов определенности; как мы уже отметили, корни переменной величины приравниваются, их разность, следовательно, снимается. Напротив, при интегрировании следует снова присоединить константу; уравнение благодаря этому несомненно интегрируется, но в том смысле, что ранее снятая разность корней восстанавливается, положенное равным снова дифференцируется. Обычный способ выражения содействует тому, что остается в тени существенная сторона дела и все сводится к подчиненной и даже чуждой сути дела точке зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти же одной лишь разности вообще между данной и производной функцией, не обозначая их специфического, т. е. качественного, различия.