Почему наши ощущения не могут подтвердить математических утверждений?

Бриди считает, что способен доказать ложность реализма. Сначала он показывает, что математическое знание не опирается на опыт.

Бриди: Я могу доказать, что математик не описывает никакой «внешней реальности.

Краус: Каким образом?

Бриди: Начнем с замечания о том, что наше знание математических исто не опирается на опыт.

Краус: Я так не считаю. Опыт с несомненностью подтверждает, что 12x12=144. Я беру 12 пачек по 12 плиток в каждой, затем подсчитываю общее количество плиток и получаю 144 плитки. Разве не так?

Может показаться, что Краус прав, однако, как показывает Бриди, ситуация не столь проста.

Бриди: Я так не думаю. Допустим, ты пустил в загон 12 групп кроликов по 12 штук в каждой группе. Получится ли в загоне точно 144 кролика? Отнюдь не очевидно. Когда ты их захочешь пересчитать вновь, ты можешь обнаружить, что они размножились и их стало 150. Верно?

Краус: Да.

Бриди: Математика не говорит, что ты получишь 150 кроликов, когда будешь считать их во второй раз. Математика утверждает только одну простую вещь: если ты сосчитаешь 12 групп по 12 кроликов в каждой группе, то ты получишь 144 кролика. Математика не предсказывает, какое количество кроликов будет в загоне, когда ты их будешь пересчитывать в другой раз.

По-видимому, Бриди прав. Математика не говорит о том, что происходит, когда вы физически комбинируете вещи. Соединив вместе двух кроликов, вы можете получить больше, чем 2. Говоря о «сложении» в математике, мы не говорим о физическом соединении вещей. Например, физическое сложение 20 двухфунтовых кусков обогащенного урана-235 может не дать 40-фунтового куска, а приведет к ядерному взрыву. Мы можем также математически «складывать» вещи, находящиеся на расстоянии многих световыхлет одна от другой, например, звезды.

Бриди: Но тогда математика не может ничего сказать также и о том, сколько плиток ты получишь, когда посчитаешь их второй раз. Может появиться лишняя плитка. Некоторые из них могут исчезнуть. Они вообще все могут исчезнуть в клубах дыма. Математика ничего не говорит об этих возможностях. Поэтому тот факт, что когда ты вновь пересчитываешь плитки и получаешь 144, не подтверждает, что 12 х 12 = 144, ибо математика не говорит о том, что ты получишь или хотя бы можешь получить 144, когда сосчитаешь их во второй раз.

Опять-таки кажется, что Бриди прав. Нам не нужен опыт для того, чтобы оправдать математическое утверждение. Ко-

²⁴⁸

нечно, нам нужен опыт для того, чтобы изучить, что означают разнообразные математические символы, нам нужен опыт чтобы научиться пользоваться математическим языком. Но как только мы это усвоили, нам уже не нужен какой-то дальнейший опыт, чтобы увидеть, что утверждение «12x12= 144» истинно. Это утверждение можно подтвердить с помощью одного только разума, ограничиваясь действиями, совершаемыми «в голове». Знание такого рода — знание, не зависящее от опыта, — называют априорным знанием.