Понятие логического следования

Глава V

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

Общее понятие об умозаключении

Умозаключения, как и понятия и суждения, являются формой аб­страктного мышления. С помощью многообразных видов умозак­лючений опосредованно (т. е. не обращаясь к органам чувств) мы можем получать новые знания. Умозаключать можно при наличии одного или нескольких суждений (называемых посылками), постав­ленных во взаимную связь. Возьмем пример умозаключения:

Все углероды горючи.

Алмаз - углерод.

Алмаз горюч.

Структура всякого умозаключения включает посылки, заклю­чение и логическую связь между посылками и заключением. Ло­гический переход от посылок к заключению называется выво­дом. В приведенном примере два первые суждения, стоящие над чертой, являются посылками; суждение “Алмаз горюч” являет­ся заключением. Для того, чтобы проверить истинность заклю­чения “Алмаз горюч”, вовсе не нужно обращаться к непосредст­венному опыту, т.е. сжигать алмаз. Заключение о горючести алмаза с полной достоверностью можно получить посредством умозаключения, опираясь на истинность посылок и соблюдение правил вывода.

Умозаключение - форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил выво­да получается новое суждение, с необходимостью или опреде­ленной степенью вероятности следующее из них.

Умозаключения делятся на такие виды: дедуктивные, индук­тивные, по аналогии. Умозаключения могут быть логически не­обходимыми, т. е. давать истинное заключение, и вероятностными (правдоподобными), т. е. давать не истинное заключение, а лишь с определенной степенью вероятности следующее из данных посы­лок (при этом в качестве посылок могут быть и ложные суждения).

Процесс получения заключений из посылок по правилам де­дуктивных умозаключений называется выведением следствий.

Понятие логического следования

Выведение следствий из данных посылок - широко распрост­раненная логическая операция. Как известно, условиями истинно­сти заключения является истинность посылок и логическая пра­вильность вывода. Иногда в ходе доказательства от противного допускаются в рассуждении заведомо ложные посылки (так называемый антитезис при косвенном доказательстве) или принимаются посылки недоказанные, однако эти посылки обязатель­но подлежат в дальнейшем исключению.

Человек, не изучивший логики, делает эти выводы, не приме­няя сознательно фигур и правил умозаключения. Формальная ло­гика знакомит с правилами различных видов умозаключений. Ма­тематическая логика дает формальный аппарат, с помощью которого в определенных частях логики можно выводить след­ствия из данных посылок. Используя этот аппарат, мы можем, имея некоторые данные, получить из них новые сведения, непосредственно не очевидные, но заключенные в этой инфор­мации,можем выводить логические следствия, вытекающие из данной информации.

Логическое следствие из данных посылок есть высказыва­ние, которое не может быть ложным, когда эти посылки истинны.

Иными словами, некоторое выражение В есть логическое след­ствие из формулы А (где А и В - метазнаки для различных по фор­ме высказываний), если, заменив те конкретные элементарные вы­сказывания, которые входят в А и В, переменными, мы получим тождественно-истинное выражение (А → В), или закон логики.

Возьмем такой пример. Нам даны три посылки: 1) “Если Иван -брат Марьи или Иван - сын Марьи, то Иван и Марья -родственни­ки”; 2) “Иван и Марья - родственники”; 3) “Иван - не сын Марьи”. Можно ли из них вывести логическое следствие, что “Иван - брат Марьи”? Многим сначала кажется, что такое логическое заключе­ние из данных трех посылок будет истинным. Чтобы проверить это, следует составить формулу этого умозаключения. Обозначим суждение “Иван - брат Марьи” буквой (переменной) а, суждение “Иван - сын Марьи” - буквой b и суждение “Иван и Марья - род­ственники” - буквой с.

Запишем нашу задачу символами (над чертой записаны три данные посылки, под чертой - предполагаемое заключение):

(a ύ 6)→ c, c,b

а

Объединив три посылки знаком конъюнкции (“^”) и присо­единив кним посредством знака “±” предполагаемое заклю­чение а, получим формулу:

(((а ύ b)→ c)^c^b)→ a

Нам нужно проверить, является ли данная формула, в кото­рой а, b, с трактуются теперь как переменные, законом логики.

Составим для формулы таблицу:

а	b	с		a ύb	(aύb)→ с	((a ύ b)→ c)^ c^	(((aύ b)→ с) ^ с ^ )→ а
И	И	И	Л	Л	И	Л	И
И	И	Л	Л	Л	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И	Л	И
Л	И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	Л	И	Л	И	Л	И

В последней колонке формула в одном случае принимает зна­чение “ложь”, значит, она не является законом логики. Следова­тельно, из данных трех посылок не следует с необходимостью заключение, что “Иван - брат Марьи”. Иван может быть племянником Марьи, или отцом Марьи, или дядей Марьи, или каким-либо другим родственником Марьи.

Этот пример показывает, что эффективность средств математической логики видна тогда, когда средствами традиционной формальной логики трудно установить, вытекает ли какое-либо следствие из данных посылок или нет, особенно в случае, когда мы, имеем дело с большим числом посылок (но не имеем еще дела с формулами, содержащими кванторы).