Пример решения задачи 3

с планетарной ступенью

Условие. Зубчатый механизм (рис.8) имеет частоту вращения 1- го колеса n₁ = 750 об/мин. Числа зубьев колес: Z₁= Z₄ =16, Z₂ = 40, Z ₅ = 64.

Решение.

1. Определяем степень подвижности механизма по формуле
П.А. Чебышева для плоских механизмов

W = 3 × n - 2 × р₅ - р₄.

Подвижные звенья n:

1- колесо 1; 2 - колеса 2 и 3, установленные на одной неподвижной оси; 3 - колесо 4 (сателлит); 4 - подвижная ось Н (водило). Итого, n = 4.

Колесо 5 - неподвижное, т.к. жестко крепится к стойке.

Кинематические пары 5-го класса (вращательные) представляют собой подвижные соединения осей O₁, О₂ со стойкой, оси O₄ с водилом Н, а также соединение водила со стойкой. Таким образом, р₅ = 4.

Кинематические пары 4-го класса, т.е. высшие кинематические пары, находятся в точках касания колес: 1 и 2, 3 и 4, 4 и 5. Итого, р₄ = 3.

Рис. 8. Механизм с планетарной ступенью

Вычисляем степень подвижности механизма

W = 3∙4 - 2∙4 – 2 =1.

2. Определяем число ступеней в механизме.

I ступень, образованная колесами 1 и 2, - рядовая.

II.ступень, включающая колесо 3, неподвижное колесо 5, сателлит 4 и водило Н — планетарная.

3. Определяем передаточное отношение I ступени.

(3.4)

Зацепление внешнее, поэтому отношение имеет значок «минус».

Определяем передаточное отношение II ступени (планетарной).

Применяем метод обращенного движения. Для этого всему механизму условно задается дополнительная частота вращения, равная и противоположно направленная частоте вращения водила (- n_н).

Частоты вращения звеньев в обращенном движении изменяется на
- n_н и станут равны

(3.5)

где, n₃, n₄, n₅ и n_H – соответственно частоты вращения колес 3,4,5 и водила в реальном механизме. Верхний индекс Н показывает, что водило остановлено.

Передаточное отношение обращенного механизма

(3.6)

отсюда

(3.7)

где U_3H – передаточное отношение от колеса 3 к водилу Н.

При остановленном водиле ступень II представляет собой обычную рядовую передачу, поэтому величину передаточного отношения находим как обратное отношение чисел зубьев крайних колес. При этом учитываем знаки: "минус" - для внешнего зацепления колес 3 и 4, "плюс" - для внутреннего зацепления колес 4 и 5.

(3.8)

Неизвестное число зубьев Z₃ определяем из условия соосности, согласно которому

(3.9)

где , , - радиусы начальных окружностей колес 3,4,5, соответственно.

Формулу (3.9) можно представить в виде

здесь m - модуль колес.

Так как модули всех колес одинаковы, то

Z₃ = Z₅ – 2 Z₄

Z₃ = 64 - 2∙16 = 32.

4. Определяем общее передаточное отношение зубчатого механизма путем перемножения передаточных отношений отдельных ступеней.

U _1H = U ₁₂ ∙ U _3H (3.10)

Подставляя полученные выражения (3.6), (3.7) и (3.8) в формулу (3.10), имеем

Знак «минус» показывает, что колесо 1 и водило Н вращаются в противоположные стороны.

Частота вращения водила Н

.

Примечание. Передаточное отношение от водила Н к колесу 3 определяется как обратное отношение по формуле

Если колесо 5 сделать подвижным, то получим дифференциальную ступень.