«Определение реакций опор пространственной конструкции»
Пример 1. Однородная прямоугольная пластинка весом Р = 60Н прикреплена к стене при помощи шарового шарнира А и цилиндрического шарнира В. Пластинка удерживается в горизонтальном положении тросом СЕ, наклоненному к горизонтальной плоскости под углом 30°. Определить натяжение троса и опорные реакции.
Решение.
1) Рассмотрим равновесие пластинки АВСD, т.е. объектом исследовании задачи является данная пластинка (рис. 5.14).
2) Приложим к пластинке заданную силу тяжести в точке пересечения диагоналей пластинки;
3) Освободим тело от наложенных на него связей (в точке А – шаровой шарнир, в точке B – цилиндрический шарнир и в точке C – нить). Реакцию шарового шарнира разложим на три составляющие { , , }, цилиндрического шарнира – на две составляющие { , } (в плоскости, перпендикулярной оси цилиндрического шарнира); реакцию нити направим вдоль нити от точки C к точке E.
Рис.5.14
4) Для определения величин шести неизвестных реакций связей { , , , , , } составим 6 уравнений равновесия действующей на пластинку произвольной пространственной системы сил. Переходя к составлению уравнений равновесия, заметим, что неизвестны углы, которые образует сила с осями x и y, поэтому разложим силу на две составляющие, чтобы одна из них, , лежала в плоскости xy пластинки, а вторая, , была параллельна оси z, т.е. . Модули этих составляющих равны: ; . Затем составляющую разложим по осям координат x и y: , .
|
|
Составим уравнения равновесия данной системы:
∑ Fkx = 0; | XA + XB – Tx = 0; | (1) |
∑ Fky = 0; | YA – Ty = 0; | (2) |
∑ Fkz = 0; | ZA + ZB – P + Tz = 0; | (3) |
∑ mx ( k) = 0; | ZВ·AB – P · AB/ 2 + Tz·AB = 0; | (4) |
∑ my ( k) = 0; | P·ВC/ 2 - Tz·ВC = 0; | (5) |
∑ mz ( k) = 0; | -XB·AB = 0. | (6) |
Из уравнения (6): XB = 0.
Из уравнения (5): TZ = Р/ 2=60/2 = 30Н.
Отсюда: T = Tz/ sin30° = 30/0,5 = 60Н; Tx = 25,98Н; Ty = 45Н.
Из уравнения (1): XA = Tx - XB = 25,98Н.
Из уравнения (2): YA = Ty = 45Н.
Из уравнения (4): ZВ = P/ 2 - Tz = 30 -30 = 0.
Из уравнения (3): ZA = P - Tz - ZB = 60-30-0 = 30Н.
Проверка:
Уравнение моментов относительно оси x 1:
∑mx 1( k) = 0; -30 + 0 + 30 = 0; | - ZА·AB/ 2 + ZВ·AB/ 2 + Tz·AB/ 2 = 0; 0 = 0. |
Уравнение моментов относительно оси y 1:
∑my 1( k) = 0; (30 + 0) – 60/2 = 0; | (ZА+ZВ) ·BC – P·BC/ 2 = 0; 0 = 0. |
Уравнение моментов относительно оси z 1:
∑mz 1( k) = 0; 25,98 ·AB – 45 ·AB· = 0; | XА·AB - YA·BC = 0; 0 = 0. |
Проверка сошлась.
Ответ: XB = 0Н; ZВ = 0Н; T = 60Н; XA = 25,98Н; YA = 45Н; ZA = 30Н.
Пример 2. Две однородные прямоугольные плиты жестко соединены под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром в точке A, цилиндрическим шарниром в точке B, а также невесомым стержнем 1 (рис. 5.15). Размеры плит указаны на рисунке. Определить реакции связей, если известно, что веса плит равны Р 1 = 5кН; Р 2 = 3кН; момент пары сил равен М= 4 кН м; а= 0,6 м; модули заданных сил F 3 = 10 кН; F 4 = 12 кН; 3=60°, силы приложены к серединам стороны плиты.
|
|
Рис. 5.15