2015-03-20
1218
Вероятность безотказной работы P (t) – вероятность того, что в пределах заданной наработки t отказ объекта не возникает,
, (6)
где θ1 – наработка объекта до отказа (непрерывная случайная величина); f (t) – функция плотности распределения случайной величины θ1; F (t) – вероятность отказа (интегральная функция распределения случайной величины θ1):
; t > 0. (7)
Откуда следует, что 
. (8)
Поскольку случайная величина наработки всегда положительна, плотность ее распределения обладает следующими свойствами:
– условие нормировки; 
;
 |
.
Эти свойства наглядно иллюстрируют графики на рис. 3 и 4. С ростом наработки вероятность безотказной работы невосстанавливаемого объекта P (t) монотонно уменьшается от 1 при t = 0, асимптотически приближаясь к 0 при t →∞, а вероятность отказа F (t) растет от 0 до 1 (рис. 4).
Вероятность безотказной работы объекта в интервале наработки (t, t + ∆t) есть условная вероятность того, что объект находится в работоспособном состоянии на этом интервале наработки, определяемая при условии, что объект сохранил работоспособность к моменту t начала этого интервала:
, (9)
где P (B) – вероятность события B, состоящего в работоспособности объекта на интервале наработки (0, t) (рис. 5); P (A|B) – условная вероятность события A, состоящего в работоспособности объекта на интервале (t, t+∆t), определяемая при условии реализации события B; P (A∙B) – вероятность произведения (пересечения) случайных событий A и B,т. е. вероятность работоспособности объекта на интервале (0, t+∆t).
Средняя наработка до отказа 
– математическое ожидание наработки объекта до отказа. Иначе говоря, есть «центр тяжести» распределения случайной величины θ1:
. (10)
Таким образом, средняя наработка до отказа равна площади под кривой зависимости вероятности безотказной работы от наработки объекта.
 |
Гамма-процентная наработка до отказа t γ – наработка до отказа, которая обеспечивается для γ∙100% объектов рассматриваемого типа.
По определению,
. (11)
Вероятность отказа (интегральная функция распределения случайной величины θ1 – наработки объекта до отказа), отнесенная к моменту t γ, равна
(12)
т.е. гамма-процентная наработка до отказа есть нижняя (1–γ)∙100%-ная квантиль распределения случайной величины θ1, а (1–γ)∙100% есть процент объектов, для которых отказы в течение наработки t γ допустимы.
Интенсивность отказов λ(t) – условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента наработки t при условии, что до этого момента отказ не возник.
По определению,
, (13)
где F (∆t|t) – условная вероятность отказа объекта на интервале ∆t, определяемая при условии, что в момент t объект находился в работоспособном состоянии; P (∆t|t) – соответствующая вероятность безотказной работы.
Из (9) и (13) следует: 
.
Интегрируя, получаем 
, откуда
. (14)
Формулу 14 называют основной формулой надежности.
На типичной кривой изменения интенсивности отказов невосстанавливаемого объекта (или параметра потока отказов восстанавливаемого объекта) с ростом наработки (рис. 6) выделяют три основных участка:
1. Начальный период эксплуатации (приработка). Повышенный уровень интенсивности отказов на этом участке объясняется скрытыми дефектами изготовления, которые, проявляясь в начальный период эксплуатации, приводят к отказам объекта.
2. Период нормальной эксплуатации. В течение этого периода, когда уровень накопленных повреждений, связанных с износом, еще не настолько высок, чтобы вызвать ухудшение выходных параметров объекта, интенсивность отказов (параметр потока отказов) обычно имеет стабильно низкое значение. Его уровень определяется особенностями объекта, исходным качеством, режимами и условиями эксплуатации. Обычно в течение этого периода эксплуатации наблюдается несколько характерных для данного объекта видов внезапных отказов, которые в совокупности определяют уровень интенсивности отказов (параметра потока отказов) на этом участке.
 |
3. Заключительный период эксплуатации (износ). В течение этого периода происходит прогрессирующее ухудшение выходных параметров объекта, обусловленное накоплением повреждений, вызванных износом и старением, что приводит к монотонному возрастанию интенсивности отказов (параметра потока отказов).
Параметр θ t называют остаточной наработкой до отказа – это наработка объекта от момента контроля его технического состояния t до момента отказа θ1:
θ t= θ1– t. (15)
Вероятность безотказной работы объекта, определяемая по его остаточной наработке, отсчитываемой с момента контроля технического состояния объекта t, равна
(16)
Следовательно, безотказность объекта, определяемая по его остаточной наработке, не зависит от изменения λ на интервале (0, t), т. е. до момента контроля технического состояния объекта.
Функция плотности распределения случайной величины θ t – остаточной наработки до отказа
, (17)
где u = t + x.
Средняя остаточная наработка до отказа (математическое ожидание θ t)
.(18)
Установленная наработка до отказа t у – групповой показатель безотказности, соответствующий гамма-процентной наработке до отказа при уровне γ ∙ 100% = 100%.
Данный показатель предполагает, что f (t) = 0 при t < t у. В вероятностном аспекте t у соответствует параметру сдвига. Например, в двухпараметрическом экспоненциальном законе распределения (рис.7) f (t)= λexp [–λ(t – c)] при t ≥ c; f (t) = 0 при t < c.
Физический смысл показателя t у состоит в том, что на интервале (0, t у) отказы считаются невозможными событиями.
 |
В области высокой надежности (P (t) → 1; t< t у), где вероятностные показатели надежности непредставительны, надежность характеризуют так называемым запасом надежности
K н =X max /Xex, (19)
где X max – предельное значение выходного параметра X объекта, соответствующее наступлению отказа; Xex и Xex γ – предельные эксплуатационные значения выходного параметра по всей совокупности объектов и по γ∙100% объектов рассматриваемого типа (рис.8).
 |
На интервале наработки (0, t у) запас надежности объекта К н> 1; начиная с момента t=t у, запас надежности объекта считается исчерпанным (К н =1); при t > t у отказы физически возможны. Скорость изменения запаса надежности объекта
. (20)
