Математическое описание продуктообмена и управления

Все достижения и отсутствие каких-либо достижений во всякой культуре выражают разнородные нравственно обусловленные потребности людей, а все потребности людей и общественных институтов разпадаются на два класса:

· биологически допустимые демографически обусловленные потребности — соответствуют здоровому образу жизни в преемственности поколений населения и биоценозов в регионах, где протекает жизнь и деятельность людей и обществ. Они обусловлены биологией вида Человек разумный, полово-возрас­т­ной структурой населения, культурой (включая и обусловленность культуры природно-географическими условиями) и направленностью её развития (к человечности либо назад в откровенное рабовладение или «консервации» исторически сложившегося человекообразия на основе придания ему каких-то новых форм, скрывающих нечеловечный характер цивилизации, но создающих видимость общественного прогресса);

· деградационно-паразитические потребности, — удовлетворение которых причиняет непосредственный или опосредованный ущерб тем, кто им привержен, окружающим, потомкам, а также разрушает биоценозы в регионах проживания и деятельности людей; приверженность которым (как психологический фактор, выражающийся, в частности, в зависти или неудовлетворённости к более преуспевшим в разнородном «сладо­страс­тии»), пусть даже и не удовлетворяемая, препятствует развитию людей, народов и человечества в целом в направлении к человечности. Они обусловлены первично — извращениями и ущербностью нравственности, вторично выражающимися в преемственности поколений в традициях культуры и в биологической наследственности.

* *
*

Баланс продуктообмена может быть составлен раздельно по демогра­фически обусловленному спектру потребностей и по деградационно-паразити­ческому спектру потребностей; может быть составлен и объединённый баланс.

Демографически обусловленный, биосферно допу­стимый спектр потребностей, обладает свойством предсказуемости на многие десятилетия вперёд на основе этнографии и тенденций изменения численности возрастных групп (т.е. он обусловлен культурой и динамикой демографической пирамиды общества).

Деградационно-паразитический спектр потреб­ностей включает в себя потребности, удовлетворение которых наносит ущерб тем, кто ему следует, их детям, внукам, ущемляет возможности развития окружающих, антагонизирует общество, в массовой статистике активизирует деградационные процессы в живущих и последующих поколениях, а ГЛАВНОЕ — разрушает биоценозы и биосферу Земли в целом.

Если каждое уравнение в системе (1) при натуральном учёте продукции в балансе ум­ножить почленно на цену продукта (спек­тра производ­ства отрасли в целом), производимого соответствующей уравнению отраслью, то система (1) при разсмотрении соответствующей строки характеризует източники доходов отрасли от продажи ею продукции; а столбец, соответствующий номеру отрасли, характеризует её разходы по оплате продукции, приобретаемой ею у поставщиков в обеспечение потребностей её собственного производ­ства.

Только после введения таким способом в баланс натурального продуктообмена финансовых количественных характеристик (цен), ниже системы уравнений можно выпи­сать ещё несколько строк функционально обусловленных разходов, производимых отраслью помимо оплаты продукции её поставщиков в процессе её собственного производства:

· Фонд заработной платы.

· Фонд развития и реконструкции производства.

· Благотворительность.

· Свободные, неразпределённые средства.

· Кредитный и страховой баланс (сальдо).

· Баланс налогов и дотаций (сальдо).

Эти записи помещаются ниже строк баланса продук­тообмена в столбцах соответствующих отраслей. Так межотраслевой баланс переводится в стоимостную форму учёта продукции.

В совокупности коэффициенты прямых затрат a_ij обра­зуют квадратную матрицу A. И уравнения межотраслево­го баланса продуктообмена могут быть записаны в матрично-векторной форме, одинаковой и для натурального, и для стоимостного учёта продукции:

(E - A)X = F (2),

где: E — диагональная матрица, все эле­менты которой — нули, кроме стоящих на главной диагонали e₁₁ , e₂₂ , …, e_nn; кроме того, E — единичная матрица, что означает: e₁₁= e₂₂= … = e_nn= 1; X и F — векторы-столбцы, спектры производства, вбираю­щие в себя Х₁ , …, X_n и F₁, …, F_n, соответственно.

Уравне­ние (2) позволяет ответить на вопрос: каким должен быть спектр валовых мощностей X при культу­ре производ­ства, описываемой матрицей A,чтобы получить заданный спектр конечной продукции F.

Также возможны балансовые уравнения иного рода:

(E - A ^T) P = r (3),

где матрица A ^T получена в результате транспониро­вания, т.е. записи в столбец строки матрицы A с тем же номером: a₁₂^T= a₂₁ и т.д.; P — вектор цен на продук­цию, учитываемую в балансе продуктообмена отраслей; а r — вектор-столбец, для каждой отрасли соответствующая компонента[417] которого — вся совокупность ранее пере­численных функционально обусловленных разходов (изключая закупки продукции у поставщиков, уже описанные левой частью уравнения), отнесенных к единице учёта (нату­рального либо финансового) валового выпуска отрасли. Компоненты векто­ра r традиционно называют «долями добавленной стоимости» в составе цены продукции (выде­ленное курсивом при употреблении термина обычно подразумевается).[418]

Само уравнение (3) называют уравнением равновесных цен. Оно описывает характе­ри­стики рентабельности производств во всём множестве от­раслей при спектре валового производства X, культу­ре производства, описываемой матрицей A, ценах P и кредитно-финансовой политике, описываемой составля­ющими вектора r.

Общественная приемлемость или желательность режима функционирования народного хозяйства, как целостности, от которой питаются, одеваются, обустраиваются люди во всех семьях, составляющие общество, может быть выражена как система ограничений, налагаемых на межотраслевой баланс продуктообмена в его натуральном учёте:

(E - A)X_K = F_K ³ F_{K min},

где F_{K min} — минимально допустимый спектр производства продукции конечного потребления. Здесь и далее для обозначения натурального учёта продукции употребляется мнемонический индекс «К» (от слова «каталог»), а для обозначения стоимостного учёта индекс «Р», напоминающий о прейскуранте, обозначаемом латинской буквой «Р».

Приведённое матричное неравенство описывает множество межотраслевых балансов, поскольку:

X_K = X_{K min} + DX_K, F_K = F_{K min} + DF_K ³ F_{K min}

— ва­риантные спектры возможного превышения минимально допустимых спектров X_{K min}, F_{K min} — однозначно не определены. Из этого множества допустимых вариантов баланса необходимо избрать только один межотраслевой баланс, т.е. пару значений X_K и F_K наилучших, оптимальных в некотором, однако определённом в конкретных жизненных обстоятельствах,смысле. Этот — избранный, в некотором определённом смысле оптимальный баланс, описывается уравнением:

(E - A)X_KП = F_{K П},

общий смысл которого ясен из предъидущего; мнемонический индекс «П» обозначает выбор параметров межотраслевого баланса в качестве плановых контрольных параметров макроэкономической системы.

При этом предполагается, что осуществляется ненапряжённое планирование, при котором плановые показатели, заведомо ниже предельно возможных (наивысших, достижимых при полной загрузке всех мощностей), что представляет собой условие обеспеченности ресурсами и мощностями варианта плана, избранного для выполнения. Такого рода плановая недогруженность производственных мощностей идёт в запас устойчивости плана [419] при его осуществлении. Иными словами, избранный план не “планка рекордной высоты”, через которую экономика в “социалис­тическом соревновании” должна “перепрыгнуть” на пределе своих возможностей; избранный план — это упорядоченный набор, заведомо достижимых контрольных показателей производственно-потребительской системы, ниже которых недопустимо уронить производство ни в одной из отраслей.

Математически принцип ненапряжённого планирования может быть выражен следующим образом:

F_{K предельно возможное} > F_KП ³ F_{K min}

Один из вариантов выбора смысла оптимальности состоит в том, что вариантный спектр производства F_K ³ F_{K min} должен достигаться при минимальных валовых производственных мощностях во всем множестве разсматриваемых отраслей X_K = (X_{K 1}, X_{K 2}, …, X_{K n})^T. Но отраслей много, вся их продукция не‑взаимо­заменяема и, чтобы найти минимум их потребных мощностей, необходимо избрать процедуру формального соизмерения объективно несоизмеримых разнокачественностей.

Одна из таких процедур, применяемых для построения критериев оптимальности — скалярное произведение двух векторов в ортогональном базисе:

z = r^T X_K = (r₁, r₂, …, r_n)(X_{K 1}, X_{K 2}, …, X_{K n})^T =

= r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} + … + r_nX_{K n},

в котором компоненты вектора r выступают как «весовые множители» при компонентах вектора X_K валовых мощностей отраслей, приводя их к некой единой размерности, или лишая их размерности вообще, что позволяет в математической модели корректно складывать реальные хлеб, чугун, компьютеры, самолёты и телевизоры, производимые разными отраслями.

Ортогональность базиса — перпендикулярность друг другу любой пары координатных осей. Ортогональность базиса в задачах экономических приложений можно условно интерпретировать как полную взаимо-НЕ-заменяемость продукции в номенклатуре спектров производства X_K , F_K. При сделанных предположениях система ограничений, налагаемых на межотраслевой баланс, математически описывается так:

ì (E - A) X_K = F_K ³ F_{K min}
í X_K ³ 0 (ЛП-П)
î Найти Min(Z), Z = r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} + … + r_nX_{K n}

В терминах математики это — задача линейного программирования [420] (далее аббревиатура ЛП). Это задача продуктообмена (отсюда дополнительное мнемоническое обозначение «П»). Условие X_K ³ 0, хотя оно присутствует и в канонической формально-математической постановке задачи линейного программирования, имеет и экономический смысл — неотрицательности валовых производственных мощностей. В задачу могут быть введены и иные таким же способом формализованные ограничения, например: биосферно-экологические ограничения в их формализованном виде X_K < X_{K max}, F_K < F_{K max}, ограничения на численность персонала и т.п. Но они не изменяют характера изпользуемых математических методов, если все ограничения выражены в линейных функциях, т.е. функциях типа f = S a_i x_i , где а_i — коэффициенты, а x_i — переменные, i = 1, …, N. В такого рода системы неравенств могут входить и уравнения, так как каждое из уравнений f(x)= c эквивалентно введению в систему двух нестрогих неравенств f(x)£ c, f(x)³ c, которые оба должны удовлетворяться в решении системы.

Математический аппарат линейного программирования существует с начала 1940‑х гг. и изпользуется в качестве средства для формализованного выбора оптимального решения в задачах управления объектами, описываемыми большим числом параметров; а также для формализованного выбора оптимального сочетания множества характеристик объектов при их проектировании и научно-техническом сопровождении осуществления проектов.

Именно по этой причине, т.е. для поддержания необходимой глобальному надиудейскому предиктору функциональной недееспособности при решении многопараметрических задач управления (и разработки технологий и продукции) линейное программирование и некоторые другие разделы математики, допускающие их такого рода приложение, не только изключены из типичного вузовского курса в СССР[421], но даже вообще не упоминаются в них. Поэтому в нашей стране с линейным программированием и аналогичного назначения другими разделами математики знакомы содержательно-методоло­ги­чески только математики-абстракцио­нис­ты, прошедшие через университетский курс высшей математики. А весьма малое число специалистов иных отраслей знания и техники просто бездумно натасканы на сложившиеся и ставшие традиционными прикладные интерпретации математического аппарата. В связи с этим пробелом в образовании большинства даже не-гуманитариев, прежде чем говорить о прикладных интерпретациях аппарата линейного программирования, поговорим о его существе.

В трехмерном пространстве линейное уравнение с тремя неизвестными: a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + b = 0 — задаёт плоскость. Два уравнения задают две плоскости и, если плоскости пересекаются, то и прямую линию — линию их пересечения. Каждая плоскость разсекает полное безконечное во все стороны пространство на два “полупрос­тран­ства”, подобно тому, как удар ножом разсекает картофелину пополам. Замена знака равенства (=) в уравнении плоскости на знак неравенства (<, >, £, ³) есть выбор одного из полупространств, определяемых плоскостью, и изъятие из разсмотрения второго. При этом строгое неравенство (<, >) изключает из избранного полупространства секущую полное пространство плоскость, а нестрогое (£, ³) включает секущую плоскость в избранное полупространство (т.е. “нож” остаётся прилепленным к одной из половинок “картофе­лины”).

Много неравенств — это вырезание безконечно простирающимися плоскостями из полного пространства некоторой области. Геометрически такая область — многогранник.

В n‑ мерном пространстве всё точно также. Линейное уравнение n переменных определяет подпространство размерностью n ‑ 1, называемое гиперплоскостью. Много неравенств в n‑ мерном пространстве вырезают из него гиперплоскостями n‑ мерную область. Эта область является n- мерным многогранником; причём выпуклым многогранником. Свойство выпуклости означает, что всякие две точки на поверхности, ограничивающей многогранник, могут быть соединены отрезком прямой линии, и все точки этого отрезка будут принадлежать либо внутренности этого многогранника, либо ограничивающей его поверхности.

Картофелина после её обрезки ножом — трехмерный эквивалент такого n- мерного многогранника. Свойство выпуклости проявляется в том, что, если из любой точки на её поверхности картофелину проткнуть прямолинейной спицей в произвольном направлении, то спица войдет в картофелину и выйдет из неё только по одному разу: т.е. одно пронзание спицей картофелины на её поверхности оставляет только две дырки.

Аргумент Z функции Min(Z) критерия оптимальности — также линейная функция n переменных:

Z = r^TX_K = (r₁, r₂, …, r_n)(X_{K 1}, X_{K 2}, …, X_{K n})^T =

= r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} + … + r_nX_{K n}.

То есть скалярное произведение векторов r^TX_K в ортогональном базисе — также уравнение гиперплоскости. Её направленность в пространстве определяется набором коэффициентов r₁, r₂, …, r_n . При этом вектор r=(r₁, r₂, …, r_n)^T ортогонален (т.е. перпендикулярен) к гиперплоскости, задаваемой уравнением Z = r^T X_K. Удаленность гиперплоскости от начала системы координат обусловлена значением Z, являющемся свободным членом уравнения:

r^T X_K - Z = 0.

При численно не определённом значении свободного члена Z этого уравнения пространство заполнено “пакетом” параллельных гиперплоскостей, каждая из которых “касается” соседних с нею двух. В трехмерной аналогии это — “слоёный вафельный торт”, в котором исчезающе тонкие вафли и прослойки начинки между ними — плоскости, различимые по значению Z каждой из них.

В задаче линейного программирования координаты точек, т.е. конкретный набор значений X_{K 1}, X_{K 2}, …, X_{K n} , определяющий значение аргумента Z = r^T X_K критерия оптимальности Min(Z), могут выбираться только из области, вырезанной всем набором неравенств-ограничений из n- мерного пространства.

То есть в трехмерной аналогии, нам сначала необходимо ориентировать в пространстве “слоеный торт” так, чтобы пакет плоскостей имел ориентацию, определяемую значениями r₁, r₂, …, r_n. Ориентация “торта” в пространстве предполагает, что слои его могут быть разположены вовсе не параллельно по отношению к плоской поверхности стола, на которую помещен “торт”. Потом этот “торт” следует обрезать “ножом”, как того требуют неравенства-ограничения. И после этого, если на столе что-то останется [422], из обрезанного пространственно ориентированного “слоё­но­го торта”, следует вынуть одну из плоскостей (“вафель” или “прослоек”), в которой достигается наименьшее (или наибольшее: Min(Z)=Max(-Z)) из значений аргумента Z критерия оптимальности: Z = r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} + … + r_nX_{K n} . Поскольку на поверхности стола должна быть известна точка, соответствующая началу координат (например один из углов столешницы), то, чтобы выделить искомое решение, придётся вынуть из “торта” плоскость, самую близкую к ней (или самую удаленную от неё), так как экстремальное значение Min(Z) или Max(Z) однонаправленно обусловлены удаленностью от начала координат. Разстоянием между точкой и плоскостью в трехмерном пространстве является перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость.

Так как “торт” прошёл обрезку, то искомая плоскость (вафля или прослойка) может быть представлена либо, как точка-крошка, лежащая в одной из вершин вырезанного из “слоёного торта” многогранника; либо как тонкая полоска-ребро многогранника, по которому пресекаются его грани; либо как одна из граней многогранника, совпадающая по направленности с ориентацией пакета параллельных плоскостей. Вариант решения определяется пространственной ориентацией слоев и характером обрезки “торта” ножами-ограниче­ниями.

Однако задача может и не иметь решений, если ограничения противоречат одно другим; например: X₁ < 1 и X₁ > 3. На первом шаге обрезки пространственно ориентированного “слоеного торта” ограничение X₁ < 1 сметает со стола за ненадобностью всё, где X₁ > 3; на втором шаге обрезки X₁ > 3 сметает со стола всё, оставшееся после первой обрезки, поскольку оно разположено там, где X₁ < 3. При такой обрезке “торта” на столе просто ничего не останется, но и это не является решением задачи, поскольку в ней необходимо удовлетворить взаимно изключающим требованиям.

Если задача имеет решение, то одна из вершин многогранника принадлежит решению. Даже, если решение выглядит геометрически, как одна из граней или ребро, то все решения, принадлежащие такому множеству оптимальных решений, формально математически неразличимы по критерию оптимальности Min(Z) или Max(Y), так как значение Z либо Y в пределах таких ребра или грани — неизменны. В таком случае выбор оптимального из множества математически оптимальных решений предполагает разсмотрение каждого из решений во множестве математически оптимальных с учётом информации, которой не нашлось места в формально математической модели.

Соответственно процесс поиска решения задачи линейного программирования, оптимального в смысле достижения Min или Max линейного критерия, сводится к последовательному перебору конечного числа вершин выпуклого многогранника и выбору экстремального из множества значений Z, достигаемого в них.

Аналогичное утверждение доказано в линейной алгебре математически строго для n- мерного пространства. Алгоритм перебора вершин n- мерного выпуклого многогранника и выбора в них экстремального значения критерия оптимальности называется симплекс-метод. В разных модификациях он известен с 1940 г. Этот алгоритм также позволяет ответить и на вопросы о совместимости системы ограничений и о существовании решений либо же об отсутствии таковых. То есть работоспособность аппарата линейного программирования абстрактно-математически подтвержде­на уже более, чем 50 лет. А “слоёный пространственно ориентированный торт” нам потребовался только для наглядности, предметной образности изложения, а те, кому необходимы формально-математические доказательства изложенного и практические алгоритмы решения, могут найти их в специальной литературе.

Мы записали ограничения задачи линейного программирования (ЛП) в виде:

(E - A) X_K = F_K ³ F_{K min},

а не как это принято при математически канонической записи задачи линейного программирования:

(E - A) X_K ³ F_{K min}

Дело в том, что при канонической записи задачи ограничения налагаются явно на левую часть абстрактного математического уравнения, которое по умолчанию в разсматриваемом нами случае приложения математического аппарата является уравнением межотраслевого баланса реального продуктообмена. В реальном же продуктообмене непосредственный интерес представляет выполнение F_K ³ F_{K min}, а не обусловленность вектора конечной продукции F_K вектором валовых мощностей X_K и матрицей A. Поскольку вектор F_K является в нашем контексте идентификатором, уже несущим определённый экономический смысл, который может выпасть из возприятия читателя при записи ограничений в обычном для математического канона их виде (E - A) X_K ³ F_{K min}, то нами избрана такая форма напоминания, хотя чисто формально математически правая и левая части уравнения равноправны, а решать задачу ЛП‑П придётся в канонической записи: т.е. по отношению к левой части уравнения продуктообмена.

Практически в каждой книге, в которой разсматривается линейное программирование (ЛП), излагается теория двойственности. Её смысл сводится к следующему: задаче ЛП

ì A x £ b
í x ³ 0 (ЛП-1)
î Найти Max(c^Tx)

математически объективно соответствует задача ЛП:

ì A ^T y ³ c
í y ³ 0 (ЛП-2)
î Найти Min(b^Ty)

В этой паре задач любая из них может разсматриваться в качестве прямой задачи, и в таком случае вторая задача получает название двойственной. Решения прямой и двойственной задач взаимно обусловлены: т.е. по решению одной, на основании теории двойственности линейного программирования, можно судить о решении ей парной задачи.

В зависимости от характера ограничений, определяющих размерность матрицы[423] A (количество в ней строк и столбцов), чисто алгоритмически одна из задач в паре может требовать существенно меньших объемов вычислений, что позволяет на основе теории двойственности в ряде случаев значительно сократить время решения задачи.

По отношению к ранее выписанной задаче ЛП-П, описывающей межотраслевой баланс продуктообмена в натуральном учёте, двойственная ей задача ЛП записывается так:

ì (E - A ^T) P = r_ЗСТ £ r
í P ³ 0 (ЛП-Р)
î Найти Max(Y), Y = F_{K min 1} P₁ + F_{K min 2} P₂ + … + F_{K min n} P_n

Это задача рентабельности (отсюда дополнительное мнемоническое обозначение «‑Р»). Она описывает ценовые соотношения при спектрах производства X_K и F_K , поскольку связана с уравнением реальных[424] и/либо равновесных цен, или неких абстрактных “теневых” цен (в зависимости от интерпретации в ней переменных).

В первой её строке слева от знака неравенства стоит несколько измененное уравнение равновесных цен (3): вектор долей добавленной стоимости обрёл в нём мнемонический индекс «зст», указующий на взаимную обусловленность того явления, которое принято называть «закон стоимости», и входящих в компоненты вектора долей добавленной стоимости функционально обусловленных разходов отраслей. Обычно первую строку приведённой задачи ЛП математически канонически записывают так:

(E - A ^T) P £ r

В нашем случае отказ от математически канонической формы записи задачи линейного программирования обусловлен тем, что при следовании этой форме ограничения явно относятся к левой части уравнения равновесных цен, в которой отражён продуктообмен, в то время как на уровне макроэкономики интерес представляют ограничения, налагаемые на правую — чисто финансовую — часть уравнения равновесных цен, в которой натуральные показатели продуктообмена отраслей не присутствуют ни прямо, ни в их финансовом выражении.

С начала 1950‑х гг. известна теорема: «Если в оптимальном решении прямой задачи неравенство № k выполняется как строгое (т.е. имеет место выполнение условия «>» или «<» вместо возможного равенства или неразрешимости задачи), то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю».

Также с начала 1950-х гг. известны экономические интерпретации теории двойственности. Обычно в них в качестве прямой задачи разсматривается некая задача продуктообмена ЛП-П, в которой переменные интерпретиру­ются как объёмы ресурсов, вовлекаемых в производ­ственный процесс. Тогда в качестве двойственной выступает задача рентабельности ЛП-Р, в которой перемен­ные интерпретируются как некие цены [425] соответствующих ресурсов.

Такая интерпретация:

· в прямой задаче пере­менные — объёмы продукции или ресурсов в их натуральном учёте;

· в двойственной задаче переменные — цены,

— стала традиционной, общеизвестной, общеприня­той.

Смотри, например, Ю.П.Зайченко “Исследо­ва­ние операций” (Киев, “Вища школа”, 1979 г.) — рядовой учеб­ник для вузов; “Мате­ма­тическая экономика на персо­нальном ком­пьютере” под ред. М.Кубонива (пер. с япон­ского, Москва, “Финансы и статистика”, 1991 г., японское изд. 1984 г.) — лик­без-справочник — «практи­чес­кое пособие по активному изучению основ рыночной экономики», как сообщается в аннотации к изданию для русскоязычных.

Приведённая теорема в такого рода интерпретациях обретает экономическое выражение:

Если объём некоего ресурса в оптимальном решении прямой задачи превышает ограничения, то цена ресурса в оптимальном решении двойственной задачи — ноль.

Это — общеизвестное на протяжении не менее сорока лет в мировой литературе утверждение, ставшее привычным:

Ю.П.Зайченко, стр. 88: «Если некоторый ресурс b_i имеется в избытке и i- е ограничение выполняется как строгое неравенство, то оно становится несущественным и оптимальная цена соответствующего ресурса равна 0».

М.Кубонива, стр. 244: «Кроме того, симплексный критерий из задачи (LP1‑D — обозначение в книге двойственной задачи) означает, что ресурс k, существующий в количестве, превышающем оптимально изпользуемый объём, становится свободным ресурсом, и его цена обращается в нуль».

Чтобы быть точным и не извращать по умолчанию контекст цитированных източников, следует сделать оговорку: только что приведённые экономические интерпретации относятся к иным экономическим задачам, не совпадающим с разсматриваемой нами задачей управления многоотраслевым народным хозяйством как целостностью, во-первых, в биосферно допустимом и, во-вторых, в общест­венно приемлемом режиме.

В обоих цитированных източниках разсматриваются задачи оптимизации управления частной структурой в объемлющей её хозяйственной системе. Иными словами, в них разсматривается задача, как выйти на рынок со своей продукцией и не прогореть. Соответственно переменные прямой задачи (продуктообмена), не совпадающей с нашей, интерпретируются в них как разходуемые, ограниченные объёмы ресурсов, доступных структуре в процессе производства ею продукции; а переменные двойственной задачи (рентабель­ности), также не совпадающей с нашей, интерпретируются как цены на употребление этих ресурсов.

Тем не менее, с точки зрения бухгалтерии (по-русски: счетоводства), учитывающей разходы в процессе ведения производства, нет разницы между платой за употребление ресурсов и оплатой продукции поставщиков. Поэтому для нас важны не экономические задачи, разсмотренные в цитированных източниках с привлечением аппарата линейного программирования, а то обстоятельство, что, если в микроэкономических интерпретациях (по отношению к структурно обособленной частной фирме) переменные прямой задачи интерпретируются как объёмы, то переменные двойственной задачи интерпретируются как цены.

Но несмотря на давность и общеизвестность среди специалистов такого рода экономических интерпретаций линейного программирования, мировая экономическая наука более чем за сорок лет не сделала единственно возможного осмысленного вывода из теории двойственности в её приложениях к задачам управления (и организации саморегуляции) многоотраслевыми производственно-потреби­тель­скими системами, разсматриваемыми как целостность:

ПРЕЙСКУРАНТ внутреннего рынка многоотраслевой производственно-потребительской системы на продукцию и услуги личного, семейного и общественного внепроизводственного потребления — ВЕКТОР ОШИБКИ УПРАВЛЕНИЯ ЕЮ, в его финансовом выражении.

Это утверждение, высказанное в редакции “Мёртвой воды” 1991 г. интуитивно по здравому смыслу достаточно общей теории управления, имеет и строгое метрологическое обоснование на основе теории двойственности линейного программирования.

Оно справедливо и по отношению к народному хозяйству в целом. Если пользоваться сложившейся к настоящему времени терминологией “экономической науки”, то это уровень “макроэконо­мики”, на котором двойственная (по отношению к задаче продуктообмена) задача линейного программирования — задача рентабельности — так и не нашла управленчески осмысленной интерпретации более чем за сорок лет: срок более чем достаточный.

Задача рентабельности также может разсматриваться в качестве прямой, и в этом случае приведённая теорема выражается следующим образом: «Если технологический процесс № k оказывается строго невыгодным с точки зрения оптимальных цен, то в оптимальном решении задачи продуктообмена интенсив­ность изпользования соответствующего технологическо­го процесса должна быть равна нулю». И этому подводится итог: «Таким образом, теорема выражает принцип рентабельности оптимально организованного производства» (Ю.П.Зайченко, стр. 88).

Это — интерпретация уровня “микроэкономики”. Такая интерпретация допустима на иерархическом уровне, соответствующем в суперсистеме народного хозяйства всякой частной фирме, изпользующей аппарат линейного программирования для выбора ею из перечня многих технологий какого-то определённого набора, на основе которого ею планируется вести производство впредь.

Она допустима[426] по отношению к любой структурно обособленной производствен­ной системе, не обладающей качеством самодостаточно­сти в смысле производства в ней продукции и её потребления, при реше­нии задачи о наиболее выгодном с финансовой точки зрения участии в продуктообмене на рынке со сложив­шимся прейскурантом; а также для оптимизации экспортно-импортного баланса, подчинённой долговременной концепции внешней политики государства.

Но попытка интерпретировать задачу «ЛП‑Р, ЛП‑П» в смысле цитированной теоремы, на уровне целостности народного хозяйства приводит к абсурдным результатам, подобным следующему выводу: если в феврале тарифы на коммунальные услуги не позволяют их окупить, а платёжеспособности населения не хватает, чтобы оплатить их по тарифам, обеспечивающим рентабельность, то… — Отопление жилья нецелесообразно и его должно прекратить[427].

В более общей интерпретации такого рода получается, что незаменимая отрасль в целостности народного хозяйства, в случае её нерентабельности, должна прекратить своё существование; иными словами, в случае нерентабельности незаменимой отрасли — следует разрушить всё целостное народное хозяйство, ликвидировав эту отрасль.

Поскольку в каждой отрасли народного хозяйства культура произ­водства и технологическая база — объективная историчес­кая данность, какой бы высокой или низкой она ни была, применение этой интерпретации на прак­тике предопределяет уничтожение как минимум одной из незаменимых отраслей в собственном народном хозяй­стве, в случае её нерентабельности, что ведёт к подчинённости общества внешним социальным системам и их концепциям управления и/либо к народно­хозяйственной и общественной катастрофе.

Это — один из примеров, на общесуперсистемном уровне разсмотрения народного хозяйства, показывающий субъективную обусловленность понятия “рентабельность”, а также и других понятий, управленчески подчинённых этому понятию и с ним связанных.

Это означает, что в такого рода задачах, нерента­бель­ность незаменимой отрасли народного хозяйства (отсутствие самоокупаемости большинства предприятий в ней) — следствие либо превышения ею уровня демографической достаточности произ­водства; либо в условиях демографической недостаточ­ности производства — выражение ошибок в настройке кредитно-финансовой системы общества на саморегуляцию производства и разпределение по демографически обусловленному спектру потребно­стей.

Прежде чем говорить об интерпретации теории двойственности линейного программирования для решения задач уровня макроэкономики, необходимо определить основы взаимосвязи натурального и финансового учёта продукции в межотраслевом балансе, без чего невозможен однозначный переход от одной формы баланса к другой.

Как известно ещё из школьного курса физики, “Полезный эффект, получаемый от физической системы”, численно = “ КПД (коэф­фи­ци­ент полезного действия) этой системы” ´ “Количес­тво энергии, введённой в эту систему”.

Поскольку это общефизический закон, то он вполне применим и к системе общественного производства, хотя практически вся финансово-экономическая наука его либо игнорирует, либо воображает, что он никак не проявляется в системе общественного производства, по крайне мере на уровне макроэкономики. Так как полезный эффект, даваемый системой производства, в наиболее общем виде численно выражается в финансах, то по отношению к макроэкономике закон сохранения энергии обретает своё выражение в следующей формулировке:

“Совокупный денежный номинал, противостоящий всей товарной массе в обществе в обороте всех специализированных рынков” = “Коэффициент энергетической обеспеченности денежной единицы (аналог КПД)” ´ “Количество энергии, потребляемой производственной системой общества, обслуживаемого данным видом денег [428] ”.

Это выражение справедливо всегда, но есть особенность: ныне средства платежа — числа на счетах и купюрах, производство которых обусловлено субъективизмом чиновников государства, банкиров, фальшивомонетчиков, фальшивокупюрщиков, хакеров, вторгающихся в банковские сети; количество же энергии, вводимой в производственные процессы в общественном объединении труда, обусловлено объективно по биогенной энергии (растений, животных, людей, связанных с производством) — природными факторами, по техногенной энергии — развитой мощностью технической энергетики. Это означает, что количество средств платежа, противостоящих производимой продукции, может изменяться (как в большую, так и в меньшую сторону) гораздо быстрее, чем изменяется количество энергии, доступной для системы общественного производства; также следует помнить и об ограниченности реального КПД технологических процессов значениями, меньшими единицы.

При таких обстоятельствах значительные колебания объема средств платежа в обороте общества вызывают межотраслевые диспропорции между реальными производственными мощностями и их разнородными финансовыми измерителями (мерами). Вследствие возникновения такого рода диспропорций способность кредитно-финансовой системы к поддержанию саморегуляции производства и разпределения в большей или меньшей мере утрачивается — вплоть до полного разпада макроэкономической системы на множество экономически нежизнеспособных «юридических лиц» и «индивиду­альных частных предпринимателей».

Этот вывод может быть получен бухгалтерски строго из анализа уравнений межотраслевого баланса в стоимостной форме в предположении изменения объема средств платежа от начала к концу производственного цикла[429].

Наиболее же общей мерой финансовых диспропорций в такого рода случаях является изменение финансового аналога КПД — коэффициента энергетической обеспеченности денежной единицы, который далее называется энергетическим стандартом обеспеченности средств платежа; для краткости просто энергетическим стандартом.

Кроме того среди множества изпользуемых в производстве ресурсов можно выделить весьма немногочисленную группу товаров, повышение цен на которые весьма быстро вызывает рост цен на все остальные товары. Эта немногочисленная группа товаров называется «базой прейскуранта». В принципе баз прейскуранта может быть выявлено несколько, но первичная база прейскуранта — энергетическая — в силу обусловленности объемов отраслевого выпуска количеством энергии, вводимой в систему производства. С энергетической базой в первую очередь связаны тарифы на транспортные услуги.

В случае соблюдения энергетического стандарта обеспеченности средств платежа и директивном управлении немногими ценами избранной базы прейскуранта (включая и цену кредита: управленчески макроэкономически наилучшая цена кредита — 0 %, поскольку при нулевой ставке ссудного процента изключается “дрейф” баз прейскуранта), всё остальное — подавляющее большинство свободных цен — выражает рентабельную реакцию множества производителей, формирующих спектр предложения, на спектр реально сложивше­гося платёжеспособного спроса.

Это означает, что в условиях действующего прейскуранта P, государственное воздействие на составляющие вектора r_ЗСТ через ограничения r_ЗСТ £ r, налагаемые на межотраслевой финансовый обмен и функционально обусловленные разходы в отрасляхоткрывает возможность обеспечить рентабельность всех общественно необходимых отраслей и общественно необходимую направленность развития каждой из них при сохранении целостности народного хозяйства.

Это означает, что не существует никаких формально-матема­ти­ческих и экономических причин, чтобы в задачах управления народным хозяйством как целостностью (это предполагает разсмотрение взаимной обусловленности производства и потребления) искать иные интерпретации переменных (определение их смысловой нагрузки) в задаче продуктообме­на и в задаче рентабельности. В задаче продуктообмена переменные — валовые объёмы произ­водства, вектор X_K . В формально математически двойственной ей задаче рентабельности “переменные” — реальные цены [430] на продукцию спектра производства X_K , т.е. век­тор P, но реальные ограничения по существу в этой интерпретации относятся не к “переменным”, а к свободному члену уравнения равновесных цен — вектору r_ЗСТ . Энергетический же стандарт обеспеченности средств платежа — метрологическая основа сопоставления финансовых и натуральных показателей в системе долгосрочного планирования и настройки механизма саморегуляции производства и потребления в макроэкономической системе.

Формально математически каждая из задач ЛП‑П и ЛП‑Р может разсматриваться в качестве прямой в теории двойственности линейного программирования, но пару — прямую и двойственную задачи на уровне “макроэкономики” — следует при этом разсматривать как единое целое. Интерпретации целостной парной задачи «ЛП‑Р, ЛП‑П» на общесуперсистемном уровне, подобные приведённой интерпретации задачи рентабельности, недопустимы, поскольку выражают взгляды, соответствующие иерархически низшим уровням системы управления по отношению к уровню суперсистемы (народного хозяйства) в целом. При разсмотрении же пары задач «ЛП-Р, ЛП-П» как целостности теория двойственности в её математически каноническом виде не может быть применена к выбору оптимального решения: существо задачи управления многоотраслевой производственно-потребительской системой таково, что решать придётся задачу продуктообмена, но двойственная к ней математическая форма задачи рентабельности позволяет обосновать задачу продуктообмена ЛП-П, изключив из алгоритма её постановки и решения метод “экспертных” оценок.

Дело в том, что интерпретация задачи ЛП‑Р:

ì (E - A ^T) P = r_ЗСТ £ r
í P ³ 0 (ЛП-Р)
î Найти Max(Y), Y = F_{K min 1} P₁ + F_{K min 2} P₂ + … + F_{K min n} P_n

“в лоб” в качестве равноправной двойственной задачи к задаче ЛП‑П, соответствующая изпользованию аппарата линейного программирования формально математически, на общесуперсистемном уровне иерархии управления народным хозяйством как целостностью управленчески безсмысленна. Если следовать формальной математике, то из первой строки задачи ЛП‑Р необходимо выбросить далее в тексте взятую в кавычкигруппу символов «= r_ЗСТ», после чегонайти вектор P, удовлетворяющий условиям задачи ЛП‑Р. Но P это — реальный прейскурант, а не какие-то ценоподобные фиктивные переменные. На стадии планирования производственного цикла прейскурант P:=P_Б — текущий реальный прейскурант, избранный в качестве базового (мнемонический индекс «Б») объективная общественная данность, совокупность текущих ошибок управления (знак «:=», взятый в кавычки, — алгоритмический знак, имеющий смысл: переменной, что стоит слева от него, присвоить значение того, что стоит справа от него).

Прейскурант это — контрольный параметр макроэкономической системы, по которому следует судить о качестве управления в ней. Но это не управляемый непосредственно параметр, который может быть изпользован в качестве средства управления ею, за изключением весьма малочисленной группы цен, входящих в избранную в качестве средства управления базу прейскуранта. То есть любое полученное решение математической канонически записанной задачи ЛП‑Р макроэкономически безжизненно, поскольку даже при директивном назначении математически вычисленных цен, не существует никаких природных и общественных причин, чтобы реальный платёжеспособный спрос в условиях реального производства породил бы реальный прейскурант, повторяющий расчётный прейскурант оптимального решения задачи линейного программирования ЛП‑Р; либо, чтобы платёжеспособный спрос реально разпределился по специализированным рынкам в соответствии с вычисленным оптимальным прейскурантом.

Это означает, что реальный характер причинно-следственно обусловленностей в общественных производственно-потребитель­ских системах, при описании их аппаратом линейного программирования, не позволяет разсматривать задачи ЛП‑П и ЛП‑Р изолированно одна от другой в качестве равноправных, эквивалентных описаний одного и того же макроэкономического процесса; не позволяет отдать какой-то одной из них предпочтение, обусловленное матрицей ограничений задачи A, определяющей выигрыш в объеме вычислений при решении макроэкономической задачи с привлечением теории двойственности линейного программирования[431].

Задача ЛП‑Р, формально математическое решение которой макроэкономически безсмысленно, тем не менее является източником информации для постановки и решения задачи ЛП‑П, обоснованной не “экспертными” оценками, а реальными объективно наблюдаемыми и измеримыми характеристиками макроэкономической системы. Как было показано ранее, задача ЛП‑П поддаётся управленчески осмысленной интерпретации на уровне разсмотрения целостности многоотраслевого народного хозяйства, но нуждается при этом в обосновании значений её параметров, и в частности, в обосновании набора весовых коэффициентов r₁, r₂, …, r_n в её критерии оптимальности.

Таким образом, левая часть равенства (E - A ^T) P = r_ЗСТ в задаче ЛП‑Р, будучи объективной экономической данностью, показывает, что система ограничений математической задачи ЛП‑Р фактически относится к правой части того же равенства:

r_ЗСТ £ r

Поэтому, забыв на некоторое время о существовании левой части равенства, займемся анализом правой его части в связи с налагаемыми на неё ограничениями. Именно эта система ограничений r_ЗСТ £ r должна быть в согласии с задачей ЛП‑П, что предопределяет выбор компонент вектора r в аргументе критерия оптимальности задачи ЛП‑П: Z = r^T X_K, изходя из анализа объективно сложившихся ценовых соотношений и функционально обусловленных разходов (составляющих вектора r_ЗСТ ), входящих в структуру задачи ЛП‑Р.

Для этого необходимо перейти от номинальных долевых в цене продукции характеристик к номинальным валовым финансовым характеристикам отраслей в ограничениях задачи ЛП‑Р, поскольку валовые финансовые характеристики являются финансовыми мерами мощности отраслей, сопоставимыми от одного производственного цикла к другому при условии соблюдения энергетического стандарта обеспеченности средств платежа. После этого ограничения задачи ЛП‑Р предстают в виде:

[X_{KБ ii}](E - A ^T) P_Б = R_ЗСТ £ R (ЛП‑РВ),

где:

· [X_{KБ ii}] — некий базовый спектр валового производства; в данной записи он представляет собой диагональную матрицу, на главной диагонали которой размещены соответствующие компоненты вектора валовых мощностей X_KБ (мнемонические индекс «Б» обозначает «базовый», индекс «К», как отмечалось ранее, указует на натуральную форму учёта продукции).

· R_ЗСТ — спектр отраслевых номинальных валовых разходов формирования закона стоимости; R_ЗСТ = [X_{KБ ii}]r_ЗСТ.

· R — вектор ограничений сверху спектра R_ЗСТ в отраслях i = 1, …, n, связанный с вектором r аналогичным соотношением:

· R =[X_{KБ ii}]r. Т.е. в терминах теории управления R — спектр ограничения мощности управляющего сигнала.

Задачу ЛП‑Р, после перехода в ней указанным способом к валовым финансовым характеристикам, будем обозначать ЛП‑РВ — «валовая».

Теперь вернёмся к задаче продуктообмена. Предположим, что задача продуктообмена ЛП-П по отношению к народному хозяйству, разсматриваемому как целостность, решается в условиях:

(E - A) X_K = F_K ³ F_{K min} ³ F_{общественно необходимое}

Предположим, что производственные мощности достаточны, вследствие чего такое решение задачи формально математически существует; а кроме того, что оно и практически осуществлено в управлении и при этом все неравенства в оптимальном решении задачи ЛП-П выполняются как строгие. Это означает, что в силу ранее приведённой теоремы все переменные P₁, P₂, …, P_n в оптимальном решении формально математической двойственной задачи ЛП-Р принимают нулевые значения.

Поскольку мы интерпретируем переменные двойственной задачи ЛП-Р как реальные (а не некие) цены, то формальная математика в разсматриваемом предположении всего лишь совпадает с финансово-экономической управляемой реальностью: избыточность предложения производимого и естественно-природная неограниченная доступность чего-либо по отношению к реальному спектру запросов потребления общества имеет следствием падение цен до нуля на то, что раньше обладало ценой, либо сохраняется изначальное отсутствие цены в обществе на это “что-либо”; недостаточность по отношению к реальному спектру запросов потребления немедленно порождает цену, величина которой определяется разпределением платёжеспособности общества по специализированным рынкам как продукции и услуг, создаваемых в общественном объединении труда, так и естественно-природных ресурсов[432].

Естественно ожидать, что, в случае идеального 1) биосферно допус­тимого и 2) общественно ориентированного управления (приори­тет­­ность: 1, 2!!!), народное хозяйство, разсматриваемое как целостность, — многоотраслевая производственно-потре­би­тельская система — заведомо удовлетворяет все запросы общества в продукции и услугах в темпе их заказа; при этом недостаточность в них, по отношению к спектру запросов потребителей, — отсутствует и в психически и нравственно здоровом обществе естественно ожидать обнуления прейскуранта на продукцию и услуги конечного потребления внепроизводственного характера, ради потребления которой общество и ведёт всю хозяйственную деятельность.

Режимы управления или саморегуляции, в которых многоотраслевая производственно-потребительская система не в состоянии устойчиво удовлетворять все запросы общества, являются отклонением от идеального режима и в таких режимах ненулевые ошибки управления выражаются как компоненты-цены прейскуранта на производимые продукцию, услуги и не производимые обществом естественно-природные ресурсы. Чем больше нехватка чего-либо по отношению к свободным запросам на потребление, тем выше цена, ограничивающая численность потребителей. Цена — всего лишь ограничитель платёжеспособностью численности потребителей и не более того; т.е. цена — мера нехватки продукции и услуг, производимых в обществе, а также и естественно-природных факторов, необходимых обществу.

Поскольку идеальному режиму управления соответствуют нулевые значения всех компонент вектора ошибки управления, то эти описанные объективные особенности ценообразования и позволяют прейскурант внутреннего рынка на продукцию и услуги личного, семейного и общественного внепроизводственного потребления интерпретировать в качестве вектора ошибки управления народным хозяйством, разсматриваемым как целостность.

Сказанное относится и к фрагментарным по отношению к целостности народного хозяйства многоотраслевым производственно-потребитель­ским системам (экономическим зонам, многоотраслевым концернам и т.п.), а также к хозяйственным системам, объединяющим более чем одно государство или народное хозяйство.