2015-04-12
6909
| параллепипед | V = a × b × с, где a, b, c - ребра параллепипеда |
| конус | V = (1/3)πR2, где R - радиус окружности; h - высота |
| круговой цилиндр | V = πR2 × h, где R - радиус окружности; h - высота |
| сфера (шар) | V = (4/3)πR3, где R - радиус сферы |
| эллипсоид | V = (4/3)πabc, где a, b, c - полуоси эллипса |
| тетраэдр | V = 0,1179 a3, где а - ребро |
| октаэдр | V = 0,4714 a3, где а - ребро |
| додекаэдр | V = 7,6631 a3, где а - ребро |
| икосаэдр | V = 2,1817 a3, где а - ребро |
Общий обзор. Формулы стереометрии!
Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье решил сделать общий обзор задач по стереометрии, которые будут на ЕГЭ по математик е. Нужно сказать, что задачи из этой группы довольно разнообразны, но не сложны. Это задачи на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов.
Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся., хотя более 50% из них решаются элементарно, практически устно.
|
|
|
Остальные требуют небольших усилий, знаний и специальных приёмов. В будущих статьях мы с вами будем рассмотривать эти задачи, не пропустите, подпишитесь на обновление блога.
Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия, важно "увидеть" какую формулу необходимо применить.
Все нужные формулы представлены ниже:
Шар или сфера. Шаровой, или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки - центра шара.
Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара
Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.
| 1. | V =
π R 3 |
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образуемая прямой, сохраняющей одно и тоже направление и пересекающей направляющую линию. Цилиндр — круговой если в основании его лежит круг. См. такжеПлощадь поверхности цилиндра
Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту:
| 1. | V =π r 2 h |
Круглый конус может быть получен вращениемпрямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называт также конусом вращения. См. также Площадь поверхности круглого конуса
Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H:
| 1. | V =
S H = π r 2 H |
(R - радиус вращения конуса; H - высота конуса)
|
|
|
Шаровой сектор — это часть шара [шар, сфера], ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара.
Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу шара:
| 1. | V =
R S = π R 2 h |
h — высота шарового сегмента, принадлежащего шаровому сектору.
Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны. Объем куба равен кубу его ребра:
| 1. | V = H 3 |
(H - высота ребра куба)
Параллелепипедом называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипедимеет шесть граней, и все они — параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
| 1. | V = SH = abc |
(H - высота параллелепипеда, a,b,c - ребра параллелепипеда)
Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS)
| 1. | V =
Sh |
(S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды)
Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.
Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида.
Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.
| 1. | V =
h (S 1+
+ S 2) |
(S1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды, S2 - площадь нижнего основания усеченной пирамиды, h - высота усеченной пирамиды)
Правильная пирамида — этомногогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный многоугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.
Объем правильной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного многоугольника, являющегося основанием S (ABCDE) на высоту h (OS)
| 1. | V =
|
n — число сторон правильного многоугольника - основания правильной пирамиды
a — сторона правильного многоугольника - основания правильной пирамиды
h — высота правильной пирамиды
Правильная треугольная пирамида — этомногогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильныйтреугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.
Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS)
| 1. | V =
|
a — сторона правильного треугольника - основания правильной треугольной пирамиды
h — высота правильной треугольной пирамиды
Вывод формулы объема тетраэдра
Объем тетраэдра расчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее необходимо подставитьвысоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
Объем тетраэдра — равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра
|
|
|
| 1. | V =
a 3 |
(V - объем тетраэдра, a - ребро тетраэдра)
Ромбом называется параллелограмм с равными сторонами. Квадрат есть частный вид ромба. Периметр ромба равен сумме 4-х длин его сторон или:
| 1. | P =4 h |
(h - длина стороны ромба)
Длина окружности p составляет примерно три целых и одну седьмую длины диаметра круга. Точное отношение длины окружности к ее диаметру обозначается греческой буквой π
| 1. |
≈ 3 | ||
| 2. |
=π |
Число π иррационально, т.е. его нельзя точно записать в виде дроби. С точностью до пятого десятичного знака оно представляется числом 3.14159. Для практических расчетов можно использовать приближенное значение
| 3. | π ≈ 3.14 |
В итоге периметр круга или длина окружности вычисляется по формуле
| 4. | p =π d =2π r |
Центральный угол — это угол, образованный двумя радиусами. Длина дуги, описываемой концом радиуса, пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Центральный угол дуги измеряется градусами. Для измерения градусами - целая окружность имеет 360°. Половина окружности 180°.
Длина дуги, пропорциональна ее радиусу и величине центрального угла.
| 1. | p =
=
|
(r - радиус дуги, n - центральный угол дуги в градусах.)
