Характеристики кривых устойчивости

Тип сечения	Тип кривой устойчивости	Значение коэффициентов
α	β	λ max
			a	0,03	0,06	3,8
	b	0,04	0,09	4,4
	c	0,04	0,14	5,8

В нашем примере следовательно, требуется проверка стенки на местную устойчивость.

Расчет на устойчивость стенки балки симметричного сечения, укрепленной только поперечными основными ребрами жесткости, при отсутствии местных напряжений смятия и условной гибкости стенки выполняется по формуле

при наличии местного напряжения (см. рис. 3.11) – по формуле

где σ, t и σ_loc – действующие нормальные, касательные и локальные напряжения в месте соединения стенки с поясом от средних значений M, Q и F_b в пределах отсека; если длина отсека больше его расчетной высоты (a > h_w), то M и Q определяются для наиболее напряженного участка отсека с длиной, равной высоте отсека h_w; если в пределах отсека M и Q меняют знак, то их средние значения следует вычислять на участке отсека с одним знаком;

σ_сr, σ _loc,сr, τ_сr – критические напряжения, определяемые по СНиП [6].

Проверку местной устойчивости стенки производят в наиболее нагруженных отсеках: первом от опоры; среднем и, при наличии изменения сечения балки по длине, в отсеке с измененным сечением.

Проверка местной устойчивости стенки в среднем отсеке балки (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Распределение изгибающих моментов и поперечных сил

в среднем отсеке

Так как а = 3 м > h_w = 1,5 м, определяем M_ср и Q_ср по середине условного отсека шириной, равной половине высоты стенки h_w, для чего вычисляем величины моментов и поперечных сил на границах расчетного участка (х ₁ = 7,5 м; х ₂ = 9 м):

M ₁ = qx ₁(l – x ₁)/2 = 115,03 · 7,5 (18 – 7,5) / 2 = 4529,31 кН∙м;

M ₂ = M _max = 4658,72 кН∙м;

Q ₂ = 0;

M_ср = (M ₁ + M ₂)/2 = (4529,31 + 4658,72) / 2 = 4594,02 кН·м;

Q_ср = (Q ₁ + Q ₂)/2 = 172,55 / 2 = 86,28 кН.

Краевое напряжение сжатия в стенке

σ = M_ср (h_w / h)/ W_x = 4594,02 (150 / 155) /21234 = 20,09 кН/см².

Среднее касательное напряжение в отсеке

τ = Q_ср /(h_wt_w) = 86,28 / (150 ∙ 1,2) = 0,48 кН/см².

Локальное напряжение σ_loc = 0.

Критическое нормальное напряжение

где c_сr = 33,4 – коэффициент, определяемый по табл. 3.13 в зависимости от значения коэффициента δ, учитывающего степень упругого защемления стенки в поясах,

здесь β = ∞ – при непрерывном опирании плит;

β = 0,8 – в прочих случаях.

Таблица 3.13

Значения коэффициента с_сr в зависимости от значения δ

d	£ 0,8	1,0	2,0	4,0	6,0	10,0	³30
ссr	30,0	31,5	33,3	34,6	34,8	35,1	35,5

Критическое касательное напряжение определяется по формуле

где – отношение большей стороны отсека a или h_w к меньшей d;

здесь d = h_w = 1,5 м < a = 3 м.

Проверяем местную устойчивость стенки:

Устойчивость стенки в середине балки обеспечена.

Проверка местной устойчивости стенки в месте изменения сечения балки на расстоянии х = 3 м от опоры.

Расчетные усилия равны:

М ₁ = 2588,18 кН·м; Q ₁ = 690,18 кН.

Краевое напряжение сжатия в стенке

σ = M ₁(h_w / h)/ W ₁ = 258818 (150 / 155) /13357 = 18,75 кН/см².

Среднее касательное напряжение в отсеке

τ = Q ₁/(h_wt_w) = 690,18 / (150 ∙ 1,2) = 3,83 кН/см².

Локальное напряжение σ_loc = 0.

Критическое нормальное напряжение

где c_сr = 31,8 – по табл. 3.13 в зависимости от

Критическое касательное напряжение (см. проверку местной устойчивости стенки в среднем отсеке).

Производим проверку:

Стенка в отсеке балки с измененным сечением устойчива.

Проверка местной устойчивости стенки в первом отсеке в сечении на расстоянии от опоры x ₁ = a ₁/2 = 1,5 / 2 = 0,75 м (рис. 3.17),

где a ₁= h_w = 1,5 м.

Рис. 3.17. К проверке местной устойчивости стенки балки у опоры

Определяем усилия:

M ₁ = qx ₁(l – x ₁)/2 = 115,03 · 0,75 (18 – 0,75) / 2 = 744,1 кН∙м;

Краевое напряжение сжатия в стенке

σ = M ₁(h_w / h)/ W ₁ = 74410 (150 / 155) /13357 = 5,39 кН/см².

Среднее касательное напряжение в отсеке

τ = Q ₁/(h_wt_w) = 949 / (150 ∙ 1,2) = 5,27 кН/см².

Локальное напряжение

Критическое нормальное напряжение

при d = 1,16.

Критическое касательное напряжение определяется по формуле

где ;

здесь d = h_w = a ₁ = 1,5 м – меньшая из сторон отсека.

Производим проверку:

Стенка в первом от опоры отсеке устойчива.

В случае невыполнения условий устойчивости стенки необходимо увеличить толщину стенки t_w или уменьшить расстояние между поперечными ребрами жесткости а, затем повторно произвести проверку ее устойчивости.

Проверка местной устойчивости стенки балки при наличии местных напряжений (σ_loc ¹ 0). При наличии местных напряжений проверку стенки на местную устойчивость следует выполнять в зависимости от значения a / h_w, при этом значения M и Q определяют в одном сечении балки.

Значения критических напряжений определяются в предположении выпучивания стенки между ребрами жесткости при ее потере устойчивости по одной полуволне при частом расположении ребер (a / h_w £ 0,8) и при более редкой расстановке ребер жесткости (a / h_w > 0,8) – по одной или двум полуволнам.

Значение критического нормального напряжения σ_cr при a / h_w £ 0,8 определяется так же, как и при отсутствии местных напряжений по формуле

где c_cr находится по табл. 3.13;

Критическое напряжение потери устойчивости от действия местных напряжений определяется по формуле

где с ₁ – коэффициент, принимаемый по табл. 3.14 в зависимости от a / h_w – соотношения сторон проверяемой пластины и значения, ρ = 1,04 l_ef / h_w – относительной длины загружения пластины местной нагрузкой l_ef к высоте стенки h_w (см. рис. 3.11), здесь l_ef = b + 2 t_f;

с ₂ – коэффициент, принимаемый по табл. 3.15 в зависимости от отношения a / h_w и значения δ.

Таблица 3.14

Значения коэффициента c ₁

ρ	При a / hef или a 1/ hef, равном
≤0,50	0,60	0,67	0,80	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	≥2,0
0,10	56,7	46,6	41,8	34,9	28,5	24,5	21,7	19,5	17,7	16,2
0,15	38,9	31,3	27,9	23,0	18,6	16,2	14,6	13,6	12,7	12,0
0,20	33,9	26,7	23,5	19,2	15,4	13,3	12,1	11,3	10,7	10,2
0,25	30,6	24,9	20,3	16,2	12,9	11,1	10,0	9,4	9,0	8,7
0,30	28,9	21,6	18,5	14,5	11,3	9,6	8,7	8,1	7,8	7,6
0,35	28,0	20,6	18,1	13,4	10,2	8,6	7,7	7,2	6,9	6,7
0,40	27,4	20,0	16,8	12,7	9,5	7,9	7,0	6,6	6,3	6,1

Таблица 3.15

Значения коэффициента c ₂

d	При a / hef или a 1/ hef, равном
0,50	0,60	0,67	0,80	1,00	1,20	1,40	≥1,60
≤1	1,56	1,56	1,56	1,56	1,56	1,56	1,56	1,56
	1,64	1,64	1,64	1,67	1,76	1,82	1,84	1,85
	1,66	1,67	1,69	1,75	1,87	2,01	2,09	2,12
	1,67	1,68	1,70	1,77	1,92	2,08	2,19	2,26
	1,68	1,69	1,71	1,78	1,96	2,14	2,28	2,38
≥30	1,68	1,70	1,72	1,80	1,99	2,20	2,38	2,52

При отношении a / h_w > 0,8 рассматривают два случая проверки устойчивости стенки:

В первом случае вычисляются критическое нормальное σ_cr и локальное σ_loc,cr напряжения по следующим формулам:

где c_cr определяется по табл. 3.13;

где для его вычисления при определении коэффициентов c ₁ и c ₂ по табл. 3.14 и 3.15 вместо a необходимо принять a ₁ = 0,5 a при0,8 ≤ a / h_w ≤ 1,33 и a ₁ = 0,67 h_w при a / h_w > 1,33.

Во втором случае их определяют так:

– критическое нормальное напряжение

где c_cr определяется по табл. 3.16;

– критическое локальное напряжение потери устойчивости

где коэффициенты c ₁ и c ₂ определяют по фактическому отношению сторон a / h_w (если a / h_w > 2, в расчете принимают a / h_w = 2).

Таблица 3.16

Значения коэффициента c_cr в зависимости

от отношения a / h_w

a / hw	≤ 0,8	0,9	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	≥2,0
cсr	По табл. 3.13	37,0	39,2	45,2	52,8	62,0	72,6	84,7

Значение критического касательного напряжения τ_cr во всех случаях вычисляют по фактическим размерам отсека.

Проверка местной устойчивости стенки при наличии местных напряжений в среднем отсеке (в качестве примера).

При принятом шаге поперечных ребер жесткости а = 3 м отношение

Первая проверка. Локальное напряжение от сосредоточенной нагрузки s_loc = 13,58 кН/см².

Нормальное напряжение в среднем отсеке s = 20,9 кН/см².

Среднее касательное напряжение τ = 0,48 кН/см².

Значение критического нормального напряжения

44,38 кН/см²,

где c_cr = 33,4, определенное по табл. 3.13 при δ = 2,16.

Значение критического локального напряжения

где при вычислении коэффициентов с ₁ и с ₂ при a / h_w = 2 > 1,33 вместо а принимаем а ₁ = 0,67 h_w = 0,67 · 150 = 100,5 см, следовательно,

a ₁/ h_w = 100,5 / 150 = 0,67;

ρ = 1,04 l_ef / h_w = 1,04 ∙ 20,5 / 150 = 0,14 (здесь l_ef = b + 2 t_f = 15,5 + 2∙2,5 = = 20,5 см – условная длина распределения сосредоточенной нагрузки);

с ₁ = 30,68 – коэффициент, определяемый по табл. 3.14 в зависимости от a ₁/ h_w = 0,67 и ρ = 0,14;

с ₂ = 1,64 – коэффициент, определяемый по табл. 3.15 в зависимости от a ₁/ h_w = 0,67 и δ = 2,16.

Значение критического касательного напряжения τ_cr = 9,36 кН/см².

Проверяем местную устойчивость стенки:

.

Стенка устойчива.

Вторая проверка. Значение критического нормального напряжения

где c_cr = 84,7 – коэффициент, определяемый по табл. 3.16 в зависимости от a / h_w = 300 / 150 = 2.

Значение критического локального напряжения

где с ₁ = 12,84 – коэффициент, определяемый по табл. 3.14 в зависимости от a ₁/ h_w = 2 и ρ = 0,14;

с ₂ = 1,87 – коэффициент, определяемый по табл. 3.15 в зависимости от a / h_w = 2 и δ = 2,16;

Значение критического касательного напряжения τ_cr = 9,36 кН/см².

Проверяем местную устойчивость стенки:

.

Стенка устойчива.

В балках большой высоты (h > 2 м ) с тонкой стенкой при условной гибкости _w > 5,5 для обеспечения ее устойчивости рационально, помимо поперечных ребер жесткости, ставить продольные ребра, опирающиеся на поперечные и располагаемые на расстоянии (0,2…0,3) h_w от сжатой кромки отсека. Наличие продольного ребра разбивает стенку по высоте на верхнюю и нижнюю пластинки, устойчивость которых проверяется раздельно по СНиП [6].