Линейная модель следящего ГП с дроссельным регулированием

Запишем систему уравнений, характеризующую наш привод:

1. Силовая картина между штоком ГЦ и объектом управления:

где: - давление питания ГЦ;

- площадь штоковых полостей ГЦ.

Переменная y соответствует координате штока на рис. 1, а - координате положения объекта регулирования .

2. Уравнение движения объекта управления:

или

,

где: - коэффициент вязкого трения.

3. Уравнение массового расхода в левую полость ГЦ:

,

где: - объем жидкости в левой полости ГЦ;

- объем жидкости в трубопроводе между распределителем и левой полостью ГЦ.

После интегрирования уравнение (3) примет вид:

, (4)

т.к. , где - модуль упругости жидкости.

Последний член в уравнении (4) может быть принят равным нулю, т.к. изменение объема трубопровода мало по сравнению с изменениями других членов уравнения.

,

где: - перемещение гильзы (корпуса) ГЦ из-за ее нежесткого крепления к опоре (нежесткое крепление моделируется пружиной с жесткостью ).

При этом - силовая картина воздействия на опору крепления ГЦ.

Тогда

.

Аналогично

,

знак “-“ перед последним членом свидетельствует о движении жидкости от ГЦ к распределителю.

Справедливы соотношения: , , где - полный ход поршня ГЦ. - расход через распределитель.

После подстановки и преобразований получим:

,

где: - приведенная жесткость жидкости в ГЦ.

Если считать жесткость опоры бесконечно большой, то .

Для получения линейной модели запишем расходно-перепадную характеристику распределителя линейным уравнением:

,

где: - коэффициенты расхода распределителя по перемещению золотника и по перепаду давления соответственно; методы расчета этих коэффициентов см. в Пособии по курсу «Динамика ГПС» в разделе 3.1.;

- координата золотника;

- входной сигнал, в нашем случае перемещение точки А в положение .

Запишем полученную систему уравнений в малых отклонениях, т.е. в линеаризованном виде. Методы линеаризации см. в Пособии по курсу «Динамика ГПС» в разделе 3.1. В нашем случае собственно линеаризация не нужна, т.к. все уравнения линейные.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Для полученной системы уже выполнены нулевые начальные условия, т.к. мы перенесли начало координат в точку установившегося процесса.

Перепишем уравнения в операционной форме с подстановками:

1. ;

2. ;

3. ; (5)

4. .

где ; ; ; ;

; ; ;

; .

Решая совместно систему уравнений (5), получим:

После подстановки, упрощения и пренебрегая по сравнению с K_OC, т.к., обычно С_H ‹‹ C_CB, получим передаточную функцию линейной модели дроссельного гидропривода:

, (6)

где - гидравлическая постоянная времени (гидропривода);

- механическая постоянная времени (гидроцилиндра), где

приведенная жесткость нагруженного ГЦ;

(при - абсолютно жесткая связь: ); -

- коэффициент относительного демпфирования гидроцилиндра;

- коэффициент внутренней обратной связи.

Т_ГП определяет время заполнения жидкостью пространства, освобождаемого в гидроцилиндре при перемещении его поршня из-за смещения золотника, следовательно, быстродействие тем выше, чем меньше площадь гидроцилиндра и больше пропускная способность золотника К_QX.

Т_ц постоянная времени гидроцилиндра, характеризует механическую постоянную привода под нагрузкой; равна угловой частоте недемпфированных колебаний массы m, имеющей упругую связь с поршнем гидроцилиндра, заполненного сжимаемой жидкостью.

учитывает силы трения и изменение расхода через золотник при изменении перепада давления.

характеризует обратную связь между смещением гидроцилиндра и золотника, определяет точность позиционирования (установившуюся ошибку, рассогласование), зависящую от привода и от нагрузки.

Таким образом, структурная схема гидропривода с дроссельным регулированием имеет вид:

Здесь отсутствует, т.к. при малых утечках в распределителе и малых смещениях золотника от нейтрали ‹‹ К_ОС и им пренебрегают.

Если гидропривод не нагружен, т.е. m=0, C_H=0, =0 и в структурной схеме только интегрирующее звено, охваченное обратной связью, то такая система устойчива:

- эти равенства описывают случай ненагруженного гидропривода.

Переходной процесс

t

- добротность системы, чем она выше, тем выше быстродействие, но ниже устойчивость. Величина добротности повышается с ростом и уменьшением .

Если гидропривод нагружен, то в прямой цепи замкнутого контура последовательно подключены интегрирующее и колебательное звенья. При уменьшении и график ЛАЧХ (см. рисунок) смещается вправо по оси частот и при определенном сочетании параметров сдвиг фаз может превысить 180⁰ при L>0, что говорит о неустойчивости привода.

Причина неустойчивости: из-за сжимаемости жидкости шток ГЦ с массой m по инерции проходит заданное положение равновесия. Это вызывает отрицательное смещение золотника распределителя через механическую обратную связь, жидкость направляется в противоположную полость ГЦ, шток перемещается назад и опять «проскакивает» положение равновесия т.д. Если привод устойчив, то эти колебания координаты штока быстро затухнут (или их не будет совсем, т.е. не будет перерегулирования). Если привод неустойчив, то колебания будут продолжаться с увеличением амплитуды. Если система находится на границе устойчивости (при частоте среза сдвиг фаз около 180⁰), то колебания имеют постоянную амплитуду, величина которой зависит от возмущающего воздействия; при изменении параметров привода колебания становятся либо неустойчивыми (привод неустойчив), либо затухающими (привод попал в зону устойчивой работы).