Изучение нового материала. Записать в тетради число и тему урока

Теорема синусов.

Записать в тетради число и тему урока.

Самостоятельная работа

В а р и а н т 1

1. В треугольнике один из углов равен 60º, а прилежащие к нему стороны равны a и b. Найдите третью сторону треугольника.

(4 балла)

2. Стороны параллелограмма равны 32 см и 10 см и образуют угол 120º. Найдите диагонали параллелограмма.

(4 балла)

3. Стороны параллелограмма равны 8 см и 19 см. Найдите диагонали, если они относятся как 3:5.

(4 балла)

В а р и а н т 2

1. В треугольнике две стороны равны a и b и образуют угол 120º. Найдите третью сторону треугольника.

(4 балла)

2. Диагонали параллелограмма равны 32 см и 10 см и образуют угол 60º. Найдите стороны параллелограмма.

(4 балла)

3. Диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см. Найдите стороны параллелограмма, если они относятся как 1:2.

(4 балла)

Изучение нового материала

Изучение теоремы синусов

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (рис. 23).

Следовательно, в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. А является ли это утверждение верным для любого треугольника? Сначала выясним соотношение между диаметром окружности, стороной вписанного в него треугольника и углом треугольника, противолежащим этой стороне.

Пусть в треугольнике ABC угол A острый, BC = a (рис. 25).

Проведем диаметр BD, равный 2 R, R — радиус описанной окружности.

Соединив точки D и C, получим прямоугольный треугольник

BDC, в котором BC — катет, поэтому BC = BD ⋅sin D. Но ∠ D =∠ A (как вписанные, опирающиеся на дугу BC), значит sin D =sin A.

Следовательно, a =2 R sin A.

Полученное соотношение выполняется и тогда, когда угол A тупой (рис. 26), так как ∠ A +∠ D =180º. Тогда ∠ D =180º−∠ A и sin D =sin(180º−∠ A). Таким образом, a = BC = BD ⋅sin D =2 R sin D =2 R sin A.