Изучение нового материала. Записать в тетради число и тему урока

Теорема косинусов.

Записать в тетради число и тему урока.

Мотивация учебной деятельности

Мы приступаем к изучению темы «Решение треугольников».

Решить треугольник — значит найти неизвестные элементы треугольника (стороны, углы) по данным известным элементам. В 8-м классе вы уже научились решать прямоугольные треугольники. Прямоугольный треугольник определяется по двум элементам, среди которых есть хотя бы один линейный элемент (сторона). Вы умеете находить неизвестные элементы прямоугольного треугольника, если даны: катет и гипотенуза; гипотенуза и острый угол; катет и прилежащий острый угол; катет и противолежащий острый угол.

Чтобы решить произвольный (не прямоугольный) треугольник, надо знать три элемента, среди которых может быть хотя бы один линейный.

Сейчас вы ознакомитесь с теоремой, позволяющей по двум сторонам и углу между ними находить третью сторону, неизвестные углы треугольника. Эта теорема называется теоремой косинусов.

Изучение нового материала

Изучение теоремы косинусов

Теорема. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть задан треугольник ABC. Докажем, что a ² = b ² + c ² − 2 bc cosα, где

a = BC, b = AC, c = AB, ∠ A = α.

Рассмотрим три случая: когда угол A является острым, тупым и прямым.

1-й случай

Если угол A острый (рис. 8), то проведем высоту BD. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC, в котором BC ² = DC ² + BD ² или

Выразим b ₁ и h через основные элементы треугольника ABC. Из треугольника ABD имеем: h = c sinα, b c 1 = cosα.

Заменив h и b ₁ в выражении (1) их значениями, найдем:

Следовательно, a ² = b ² + c ² −2 bc cosα, что и требовалось доказать.

2-й случай

Пусть угол A тупой (рис. 9). Из вершины B проведем высоту BD на продолжение стороны AC. Из прямоугольного треугольника BDC имеем:

BC ² = BD ² + DC ² или

Значения h и b ₁ выразим через основные элементы треугольника ABC. Из треугольника ABD имеем: h = c sin(180° − α) = c sinα,

Заменив h и b ₁ в выражении (2) их значениями, после некоторых преобразований имеем:

Следовательно, a ² = b ² + c ² −2 bc cosα, что и требовалось доказать.

3-й случай

Пусть угол A прямой, a = 90° (рис. 10). В этом случае

cosα = cos90° = 0, следовательно, имеем:

b ² + c ² −2 bc cos α = b ² + c ² −2 bc ⋅0 = b ² + c ². (3)

Но по теореме Пифагора имеем: b ² + c ² = a ². (4)

Сравнив выражения (3) и (4), получим: a ² = b ² + c ² −2 bc cos α.

Теорема доказана.

Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частичный случай теорема Пифагора.

Действительно, если в треугольнике ABC угол A прямой, то cos A = cos90° =0, и по теореме косинусов получаем a ² = b ² + c ², то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.