Решение упражнений

1. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна d и образует с одной из сторон угол α. (Ответ. d 2 sinacosa.)

2. Диагональ параллелограмма делит острый угол на углы α и β. Сторона, противолежащая углу β, равна b. Найдите площадь параллелограмма.

3. Найдите сторону ромба, если его площадь равна S, а один из углов равен α.

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей. (Ответ. R = 5 см, r = 2 см.)

5. Высоты параллелограмма, проведенные из одной вершины, равны a и b и образуют угол α. Найдите площадь параллелограмма.

6. Сторона прямоугольника равна a, а угол между диагоналями, противолежащий другой стороне прямоугольника,— φ. Найдите площадь прямоугольника.

7. В равнобедренной трапеции меньшее основание a равно боковой стороне, а острый угол равен φ. Найдите площадь трапеции.

Решение

Пусть в трапеции ABCD BC = AB = CD = a, ∠ BAD = ∠ ADC = φ (рис. 50).

Опустим перпендикуляр из точки B на основание AD. Из прямоугольного

треугольника ABK имеем: BK = h = a sin φ, AK = a cos φ. Тогда AD = 2 AK + BC = 2 a cos φ j + a.