Задача сводится к нахождению силы давления жидкости на поверхности стенок, ограничивающих ее.
Рассмотрим криволинейную поверхность AB произвольной формы, площадь которой S (рис. 3.3). Выделим на ней элементарную площадку dS, пусть - орт внешней нормали. Сила, действующая на эту площадку
где p - гидростатическое давление в центре площадки. Обычно в технических приложениях интерес представляет лишь сила, возникающая от избыточного давления. Имея в виду, что , получаем
(3.14)
На всю площадь действует сила
Рис. 3.3 |
(3.15)
Запишем это выражение в проекциях на оси координат, что дает
(3.16)
(3.17)
Для удобства изобразим отдельно элементарную площадку (см. рис. 3.4). Из рисунка следует, что
где - вертикальная, и - горизонтальная проекции dS. Таким образом
(3.18)
Рис. 3.4 |
(3.19)
Рассмотрим горизонтальную составляющую.
Из механики известно, что интеграл (3.18) есть статический момент площади, равный произведению , где - координата центра тяжести вертикальной проекции.
Следовательно,
|
|
(3.20)
т.е. горизонтальная составляющая равна произведению вертикальной проекции стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой проекции.
Определим теперь вертикальную составляющую силы, для чего воспользуемся следствием из формулы Гаусса-Остроградского (см. ф-лу 1.16)
Из уравнения равновесия (3.2) имеем , т.е.
Вертикальная проекция единичной массовой силы (знак плюс, т.к. в данном случае ось z ориентирована вниз).
Следовательно,
(3.21)
V носит название объема тела давления. Таким образом, вертикальная составляющая равна весу жидкости, заключенному в объеме тела давления. Для нахождения этого объема следует использовать формальное правило: тело давления - это объем, образованный криволинейной стенкой, ее проекцией на свободную поверхность (либо на продолжение свободной поверхности) и вертикальными проектирующими плоскостями. На рис. 3.5 показаны примеры определения тел давлений для двух случаев.
Рис. 3.5 |
Как следует из рисунка, тело давления может быть как положительным, так и отрицательным (фиктивным).