Решение дифференциального уравнения состояния (2.4.4) можно получить точно также, как решается скалярное дифференциальное уравнение первого порядка. Рассмотрим уравнение

d x (t) /d t = a x (t) + b u (t). (2.4.8)

Преобразуя (2.4.8) по Лапласу, получим

s X (s) – x (0) = a X (s) + b U (s). (2.4.9)

Следовательно

. (2.4.10)

Обратное преобразование Лапласа (2.4.10) дает решение

x (t) = . (2.4.11)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (2.4.4) и сгруппируем его члены

. (2.4.12)

Обратное преобразование Лапласа (2.4.12) дает решение

x (t) = , где (2.4.13)

.

Матричная экспоненциальная функция Ф (t) = [ j_mk (t)] = = exp(A t) с элементами j_mk (t) называется фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояния.

Для свободного движения, когда u (t) = 0, решение (2.4.13) имеет простой вид

. (2.4.14)

Из (2.4.14) видно, что элемент j_mk (t) представляет собой реакцию m -ой переменной состояния на начальное значение k -ой переменной состояния при условии, что начальные значения всех остальных переменных состояния равны нулю.

Дискретный способ вычисления временных характеристик.