Опыт №2

Лабораторная работа №1

Тема: «Оценка погрешностей прямых и косвенных измерений при изучении колебаний математического маятника»

Цель работы: вычисление средних значений измеряемых величин и доверительного интервала прямых и косвенных измерений при заданной доверительной вероятности.

Приборы и принадлежности: математический маятник, секундомер, линейка.

Схема экспериментальной установки приведена на Рис. 1

Рис. 1 Экспериментальная установка

Где 1 – штатив, 2 – подвес, 3 – стойка, 4 – грузик, 5 – основание, l – длина подвеса.

Теория

1) Что понимается под измерением физической величины? Что такое прямые и косвенные измерения?

Измерение физической величины заключается в сравнении её с другой однотипной величиной, принятой за единицу (эталон - образцовая мера (или измерительный прибор), служащая для воспроизведения, хранения и передачи единиц измерения с наивысшей достижимой при данном состоянии науки и техники точностью). Целью и результатом измерения является установление численного соотношения между измеряемой величиной Х и единицей измерения [Х]. Оно записывается в виде

Х=х[Х],

где х – отвлечённое число, которое показывает сколько раз единица измерения содержится в измеряемой величине.

Прямые измерения – это измерения, при которых искомое значение физической величины находят непосредственно из опытных данных, с помощью измерительных приборов.

Косвенные измерения – это измерения, при которых искомую величину y вычисляют по результатам прямых измерений, связанных с искомой функциональной зависимостью y=f(x), т.е. измеряют не собственно определяемую величину, а другие, функционально с ней связанные. (Косвенные измерения производятся, когда искомую величину невозможно или сложно измерить или когда прямое измерение даёт менее точный результат).

2) Дать определение основным видам погрешностей. Привести примеры.

Систематические погрешности – это ошибки, являющиеся следствием неправильной калибровки прибора (сбитый ноль, их тепловое расширение), ошибочности метода измерений и т.п. При наличии таких погрешностей измеренное значение отклоняется от истинного значения в одну и ту же сторону, на одну и ту же величину. Повторными измерениями эти ошибки не уменьшаются, но их можно оценить сравнением результатов измерений с измерениями, полученными исправным прибором (с большей степенью точности).

Случайные погрешности вносятся изменчивыми условиями эксперимента, несовершенством органов чувств, ограниченной точностью измерений и т.п. Случайные ошибки подчиняются законам теории вероятности и математической статистики. Чаще всего они проявляются в виде разброса показаний прибора. В результате этого разброса измеряемая величина случайным образом отклоняется от истинного значения в произвольную сторону на произвольную величину.

Промахи – ошибки (погрешности), чаще всего возникающие вследствие невнимательности человека или недостаточной его квалификации и опыта. Их можно наблюдать, например, при неправильном отсчёте измеряемого значения (неправильное определение цены деления прибора). Также к ним могут привести внезапные внешние влияния на измерительное устройство.

Приборные погрешности - этот тип погрешностей обусловлен тем, что практически любое измерительное устройство обладает ограниченной степенью точности. Для примера, измерительной линейкой нельзя измерить длину с точностью до одного миллиметра, с ценой деления 1 см.

3) Как определяются абсолютная и относительная ошибки отдельного результата измерения и совокупности измерений?

Абсолютная ошибка – это разность ∆х = х_i - х_ист, где х_ист – это истинное значение измеряемой величины, а х_i – результат измерения.

Относительная ошибка вычисляется по формуле:

4) Описать Гауссову функцию распределения плотности случайной величины. Связать её параметры со средним значением и дисперсией выборки.

Распределение Гаусса (Нормальное распределение) — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

где параметр μ — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ — среднеквадратическое отклонение (σ ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.

5) Что такое дисперсии среднего значения и среднеквадратичного отклонения и как они находятся при прямых измерениях величины?

Рассмотрим основы теории случайных погрешностей, позволяющей оценить величину погрешности для серии опытов. Закономерности, связанные со случайными величинами, изучаются теорией вероятности и математической статистикой.

Допустим, что было произведено N независимых наблюдений некоторой физической величины х. Обозначим через x_i (i=1,N) результаты этих наблюдений. Наилучшей оценкой истинного значения x _is по этим результатам является их среднее арифметическое значение:

«Разброс» величины около ее среднего значения при одинаковых для разных измерений может быть разным и характеризуется дисперсией. Она определяется средним квадратом отклонения этой величины от ее среднего значения и задается формулой

Корень квадратный из дисперсии называется стандартным или среднеквадратичным отклонением

Среднеквадратическое отклонение и дисперсия при данных условиях и процедуре измерений являются величинами постоянными и характеризуют степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше они, тем точнее проведены измерения. Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению и δ. Смысл δ как меры приближения измеренного значения величины к истинному значению х_is определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами заложенными в методику измерений. Эти принципы в рамках данной методики не зависят от экспериментатора и даже бесконечное увеличение числа измерений не даст заметного увеличения точности.

Если «разброс» δизмеряемой величины х при большом числе измерений N есть величина статистически постоянная, то можно ожидать, что в произвольно заданный интервал Δх будет попадать более или менее постоянное число n измерений, зависящее от того, где на числовой оси х выбрать Δх.

6) Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность и как записывается окончательный результат измерений?

Доверительный интервал – термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера.

Доверительная вероятность – вероятность того, что полученная при измерении оценка абсолютно точно совпадает с истинным значением параметра, равна нулю. Однако можно поставить вопрос, например, такой. Пусть получено некоторое измеренное значение; так вот, каков должен быть интервал, чтобы истинное значение оказалось внутри него с вероятностью, скажем, 0.9. Или 0.99. Исследователь выбирает эту вероятность сам. Ясно, что чем выше вероятность, тем шире интервал. Вот эти вероятности и соответствующие им интервалы называются доверительными.

7) Каков физический смысл ускорения свободного падения?

Ускоре́ние свобо́дного паде́ния (ускорение силы тяжести) — ускорение, придаваемое телу силой тяжести, при исключении из рассмотрения других сил. В соответствии с уравнением движения тел в неинерциальных системах отсчёта ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/с². Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/с².

Упр.1. Измерение длины математического маятника.

N											∑
l_i (м)	0,415	0,414	0,413	0,415	0,414	0,416	0,420	0,417	0,418	0,415	4,157
(l-<l>)² (мм)	0,49	2,89	7,29	0,49	2,89	0,09	18,49	1,69	5,29	0,49	40,1

1) Находим среднее длины по формуле

2) Находим среднеквадратичное отклонение длины маятника, обусловленное случайными ошибками, по формуле

где - значение коэффициента Стьюдента для реального числа измерений и надёжности 90%. = 1,8

≈3,799мм

3) Вычисляем среднеквадратичное отклонение, обусловленное приборной ошибкой по формуле , где f – это цена деления измерительного прибора (линейки); - значение коэффициента Стьюдента для бесконечного числа измерений и надёжности 95%.