Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим цилиндр, вращающийся вокруг

неподвижной оси (рис.4.5) под действием

постоянной силы F. За время dt точка приложения силы переместится на dS и работа этой силы будет

dA = F dS, которая при отсутствии сопротивления

равна изменению кинетической энергии.

т.к. , то

Произведение F×r есть величина, называемая моментом M силы F относительно оси вращения 0. Поэтому запишем

или

, но , откуда

M = Á ∙ ε (4.7)

В векторной форме M = Á ∙ ε (4.8)

Полученная формула носит название основного уравнения динамики вращательного движения. Момент силы, приложенный к телу, численно равен произведению момента инерции на угловое ускорение. Она выражает второй закон Ньютона для вращательного движения. Роль силы при вращательном движении играет момент силы, роль массы - момент инерции тела. Момент силы M (Н*м) является векторной величиной, направленной вдоль оси вращения. Из уравнения (4.8) видно, что направление вектора совпадает с направлением вектора углового ускорения .

Из вывода (4.8) можно найти выражение для работы при вращении тела:

dA = F dS = F r dj = M dj, (4.9)

т.е. работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

14) Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произ­ведением:

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p =m v — импульс мате­риальной точки (рис. 28); L — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

момент импульса отдель­ной частицы равен

Модуль вектора момента импульса

где a — угол между векторами r и р, l — плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя формулу (17.1) v_i = wr_i, получим

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

т. е.

Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твер­дого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

В замкнутой системе момент внешних сил откуда

Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.