Спектры сигналов

Важной характеристикой каждого сигнала является его спектр, определяющий распределение амплитуды сигнала по частотам. Математически спектр сигнала описывается спектральной плотностью, которая представляет собой преобразование Фурье от временной функции сигнала:

Таким образом, если известно выражение сигнала как функции времени, то можно определить его спектр. Наиболее простым является спектр гармонического колебания u (t) = U ₀ cosw₀ t, представляющий собой одну составляющую на частоте w₀ (рис.1.17,а). Для определения частотных составляющих спектра амплитудно-модулированного сигнала u _АМ(t) = U ₀ (1+ m cosΩ t) cosw₀ t достаточно произвести простые преобразования.

u _АМ(t) = U ₀ (1+ m cosΩ t) cosw₀ t = U ₀ cosw₀ t + U ₀ m cosΩ t cosw₀ t.

Так как , то можно записать

Как можно видеть, данный сигнал образован тремя слагаемыми с разными частотами: колебаниями на несущей частоте w₀ и двумя боковыми составляющими с частотами w₀+Ω и w₀–Ω. Таким образом, спектр этого сигнала состоит из трех составляющих – центральной (несущей) с амплитудой U ₀, и двух боковых с амплитудами mU ₀/2 (рис.1.17,б).

Рис. 1.17. Спектры колебаний: а) простого гармонического; б) амплитудно-модулированного при модуляции одним тоном

Разность частот крайних составляющих спектра называется шириной спектра Δw_сп. Ширина рассматриваемого спектра равна удвоенному значению частоты модуляции (Δw_сп =2Ω).

Управляющий (модулирующий) сигнал может иметь более сложный вид, чем рассмотренный выше. Человеческая речь, например, представляет собой случайный сигнал, заключенный в определенной полосе частот [Ω_min Ω_max]. Спектр высокочастотного амплитудно-модулированного сигнала в данном случае будет включать несущую и боковые составляющие с шириной
DW = Ω_max – Ω_min каждая и случайной амплитудой (рис.1.18). Ширина спектра такого сигнала равна 2Ω_max.

Рис. 1.18. Спектр амплитудно-модулированного колебания
при модуляции голосом

Спектр частотно-модулированного и фазомодулированного сигналов теоретически бесконечно широк. При модуляции по синусоидальному закону с частотой W спектр включает несущую частоту w₀ и бесконечно большое число боковых составляющих, частоты которых равны w₀± n W, а n принимает все целые значения от единицы до бесконечности. Однако при увеличении n амплитуды составляющих спектра быстро уменьшаются. Если считать, что ширина спектра ЧМ или ФМ сигнала ограничивается диапазоном частот, в пределах которого амплитуды составляющих спектра уменьшаются до 0,01 от амплитуды несущей, то ширину спектра (рис.1.19) можно принять равной удвоенному значению девиации частоты:

Δw_сп =2Δw_м.