Дискретизация непрерывных сигналов

Лабораторная работа №1

ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Цель работы: ознакомиться с принципами формирования дискретных сигналов и этапами аналого-цифрового и цифро-аналогового преобразования сигналов, а также изучить требования, предъявляемые к устройствам, выполняющим данные виды обработки сигналов.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

Непрерывный аналоговый сигнал, наблюдаемый на выходе преобразователя сообщение/ сигнал, непригоден к передаче по цифровой системе передачи, так как он существует на всём интервале времени наблюдения и принимает бесконечное множество значений, а цифровая система работает с сигналами существующими в отдельные моменты времени и принимающими конечный набор значений. Процесс преобразования аналогового сигнала в форму совместимую с цифровой системой передачи носит название аналого-цифрового преобразования. Первым этапом аналого-цифрового преобразования является дискретизация.Дискретизация- это процесс представления непрерывного сигнала последовательностью дискретных значений. Выборка дискретных значений из непрерывного сигнала производится через интервал времени называемый периодом дискретизации , который в соответствии с теоремой Котельникова выбирается из следующего условия:

Где - максимальная частота в спектре непрерывного сигнала. Следовательно, в соответствии с теоремой Котельникова, непрерывный сигнал перед дискретизацией должен быть ограничен по спектру, подвергнут фильтрации с целью устранения нежелательных компонент лежащих выше частоты , которые после дискретизации могут попасть в основную полосу частот сигнала , что приведёт к искажению (потере) информации содержащейся в аналоговом сигнале при восстановлении его из цифровой формы. Таким образом перед аналого-цифровым преобразователем (АЦП) должен располагаться аналоговый ФНЧ с частотой среза равной требуемой максимальной частоте в спектре непрерывного сигнала т.е , который будет устранять нежелательные частотные компоненты являющиеся чаще всего шумом.

На практике процесс дискретизации осуществляется путём подачи непрерывного сигнала на вход коммутирующего устройства, представляющего собой последовательное соединение транзистора и конденсатора, на выходе которого будет наблюдаться последовательность прямоугольных импульсов. Амплитуды данных импульсов равны значениям непрерывного сигнала в моменты времени т.е. в моменты времени кратные интервалу дискретизации, а период следования импульсов соответственно будет равен интервалу дискретизации . Последовательность данных импульсов называется сигналом амплитудно-импульсной модуляции АИМ, такое название обусловлено тем, что амплитуды импульсов промодулированы значениями непрерывного сигнала. Продемонстрируем процесс получения сигнала АИМ на примере.

Процесс получения сигнала АИМ можно рассматривать как умножение непрерывного аналогового сигнала (рис.1 а) с ограниченным спектром (рис.1 б) на последовательность прямоугольных импульсов (рис.1 в) длительностью и периодом равным периоду дискретизации . Перемножение эквивалентно включению и выключению коммутирующего устройства.

Рисунок 1-Процесс дискретизации непрерывного сигнала

Получаемая последовательность дискретных значений сигнала (рис.1 д.) определяется выражением: .

Последовательность прямоугольных импульсов на рис.1. в является периодической, следовательно её можно разложить в ряд Фурье:

где частота дискретизации =2 , а коэффициент .

Как видно из рисунка 1.г, на котором приведен спектр последовательности прямоугольных импульсов , огибающая амплитуд спектральных компонент, изображенная пунктиром, описывается функцией вида .Следовательно выражение описывающее спектр сигнала АИМ (рис. 1.е) можно записать следующим образом:

где -операция преобразования Фурье.

Из результатов дискретизации приведенных на рисунке 1 можно сделать следующие выводы:

1) Спектр дискретного сигнала (рис.1 е) в основной полосе частот с точностью до постоянного множителя совпадает с спектром непрерывного аналогового сигнал .

2) Спектр дискретного сигнала состоит из периодически повторяющихся копий спектра непрерывного сигнала, частота следования копий равна частоте дискретизации .Все копии спектра непрерывного сигнала взвешены на коэффициент , что приводит к уменьшению амплитуд спектральных составляющих копий с ростом n.

3) Каждая копия спектра непрерывного сигнала в спектре дискретного сигнала (рис.1 е) отделена от соседних некоторой полосой частот, следовательно аналоговый сигнал можно восстановить из дискретного с помощью фильтра нижних частот с частотой среза равной максимальной частоте в спектре непрерывного сигнала . В рассмотренном случае и для восстановления аналогового сигнала потребовался бы идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной АЧХ, по этой причине частоту дискретизации выбирают из условия . Как следует из рисунка 1.е, при увеличении копии спектра отдаляются друг от друга, что уменьшает требования к порядку и сложности фильтра нижних частот используемого для восстановления аналогового сигнала.

4) В случае невыполнения теоремы Котельникова когда будет наблюдаться картина соответствующая рисунку 2. В этом случае полное восстановление непрерывного сигнала из дискретного окажется невозможным, так как в полосу частот аналогового сигнала будут попадать частотные компоненты от соседней копии спектра, что приведёт к потере информации содержащейся в аналоговом сигнале при его восстановлении с помощью ФНЧ из дискретного АИМ сигнала.

Рисунок 2-Наложение в частотной области: а)спектр непрерывного сигнала; б) спектр дискретного сигнала

Фильтры нижних частот, которые могут быть реализованы на практике и использованы для восстановления аналогового сигнала из дискретного, обладают ненулевой переходной полосой, следовательно используемая частота дискретизация должна быть выбрана с некоторым запасом, для предотвращения наложений в частотной области которые могут возникнуть при дискретизации сигнала. Для минимизации частоты дискретизации необходимо чтобы восстанавливающий фильтр имел узкую переходную полосу, однако уменьшение переходной полосы приводит к увеличению порядка и сложности фильтра. На практике применяют фильтры с переходной полосой равной 10-20% от полосы пропускания равной .Таким образом инженерное значение частоты дискретизации, c учётом переходной полосы для предотвращения наложений в частотной области, выбирается из условия: