Тема. Физический смысл ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

(4.1)

Рассмотрим горизонтально расположенную пружину с закреплённым левым концом. На правом конце пружины приклеплен груз массой m.

Обозначим точку отсчета

(в этом положении пружина не растянута). Обозначим

через положение груза в момент времени , как обычно через обозначим скорость,

через ускорение груза. Обязательно указываем физический закон, которому удовлетворяет

пружина. Это закон Гука. Считаем, что в момент времени на массу m действует сила упругости пружины равная (), сила сопротивления среды (например пружина находится в жидкой среде)()и некая внешняя сила растягивающая пружину . По второму закону Ньютона

Пусть верхний конец пружины приклеплён к потолку, а к нижнему концу прикреплён груз массой m. Посмотрим, как будет выглядеть уравнение движения груза в этом случае. Пусть ось координат ОУ направлена вертикально вниз и положение грузика в нерастянутом состоянии. Под действием силы тяжести пружина растянется и упругая сила пружины уравновесит вес груза:

В момент времени на пружину будет действовать сила упругости ,

сила сопротивления среды , внешняя сила воздействия на пружину и сила тяжести . По второму закону Ньютона

Получаем то же самое уравнение.

Рассмотрим различные ситуации.

Если на пружину не действует внешняя сила и она совершает колебания в среде с сопротивлением. То дифференциальное уравнение принимает вид Положительная константа характеризует среду сопротивления движению. Положительная константа характеризует материал, из которого изготовлена пружина. Характеристическое уравнение даёт корни

Решение неоднородного ЛДУ зависит от вида корней и правой части . На практике очень часто правая часть имеет специальный вид . (1)

Определение 1. Назовём характерным числом правой части (1) комплексное число Вид решения неоднородного ЛДУ существенно зависит от того каким образом связаны между собойчисла .

Рассмотрим примеры нахождения общего решения линейного неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Данный алгоритм мы назвали методом подбора и рассматривали его на предыдущей лекции.

Пример 1. Найти общее решение неоднородного ЛДУ .

Решение. Находим корни характеристического уравнения . . Найденные дают нам ФСР: . Согласно теории линейных дифференциальных уравнений общее решение неоднородного уравнения задаётся формулой

.Здесь любое конкретное решение неоднородного уравнения. Выписываем характерное число определяющее правую часть. Замечаем, что есть совпадение . Поэтому частное решение ищем в виде . Подберём так, чтобы было решением ,то есть . Дифференцируя и раскрывая скобки получаем . Откуда .

Общее решение имеет вид .

Пример 2. Найти общее решение неоднородного ЛДУ .

.Здесь любое конкретное решение неоднородного уравнения. Выписываем характерное число определяющее правую часть. Замечаем, что оба характеристических числа не совпадают с . Поэтому частное решение ищем в виде . Подберём так, чтобы было решением , то есть . Дифференцируя получаем

Раскрывая скобки, получаем

Отсюда . Общее решение имеет вид .

Пример 3. Найти общее решение неоднородного ЛДУ .

.Здесь любое конкретное решение неоднородного уравнения. Выписываем характерное число определяющее правую часть. Замечаем, что есть совпадение . Так как правая часть уравнения , то частное решение ищем в виде . Подберём так, чтобы было решением ,то есть . Дифференцируя и раскрывая скобки получаем . Откуда .

Общее решение имеет вид .

Вернёмся к задаче о пружинах. Как мы уже знаем уравнение колебания пружины имеет вид

Или

Пусть требуется решить задачу о колебании пружины, Если первоначальное отклонение от положения равновесия было равно 4м, а начальная скорость равнялась 0м/с. Таким образом требуется решить начальную задачу

Тогда .Грузик на пружине будет совершать колебания по закону (общее решение) . Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то подставляя начальные данные в уравнение движения грузика определяем: : . Отсюда

. Колебание грузика на пружине дается формулой:

График движения представлен на рис.1.

Рис.1

Уменьшим вязкость среды и положим . Тогда колебания грузика будут даваться дифференциальным уравнением . Общее решение которого

имеет вид

Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет

Рис.2

Пусть колебания грузика происходят в вакууме, т.е. среда не сопротивляется движению грузика =0, . Тогда дифференциальное уравнения движения грузика принимает вид

, а общее решение .

Рис.3

Пусть теперь среда, в которой колеблется пружина, очень вязкая

ДУ становится таким . А уравнения движения грузика имеет вид

Рис.4

Пусть теперь среда, в которой колеблется пружина, такова, что . Например

ДУ в этом случае становится таким . А уравнение движения грузика имеет вид . Если первоначальное отклонение от положения равновесия было , а начальная скорость равнялась , то уравнение движения грузика будет