Дюрация и показатель выпуклости портфеля

Образцы контролирующих материалов по

Дисциплине «Финансовая математика»

Список основных вопросов на зачет

Дюрация и показатель выпуклости портфеля.

1. Меры доходности портфеля.
2. Первые три свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций.
3. Четвертое и пятое свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций.
4. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

6. Иммунизация портфеля облигаций без трансакционных расходов (привести пример).

7. Иммунизация портфеля облигаций при наличии трансакционных расходов (привести пример).

8. Рискованные ценные бумаги. Общая модель оценки. Модель нулевого роста. Модель постоянного роста.

9. Модели переменного роста оценки рискованных ценных бумаг. Конечный срок владения акцией.

1. Основы портфельного анализа в условиях неопределенности. Модель Марковитца. Вероятностная модель финансового рынка.
2. Эффективный портфель при фиксированном значении ожидаемой доходности.
3. Эффективный портфель в зависимости от отношения инвестора к риску
4. Модель Марковитца с безрисковым активом
5. Модель Марковитца в случае наличия дополнительных линейных ограничений
6. Модель выбора инвестиционной стратегии с учетом обязательств.
7. Диверсификация портфеля как способ снижения риска
8. Модель Шарпа – Линтнера.
9. Модель ценообразования финансовых активов Блэка.
10. Оценка параметров модели Шарпа – Линтнера
11. Проверка гипотезы о свободном члене в уравнении регрессии модели Шарпа – Линтнера.
12. Оценка параметров и проверка гипотез в уравнении регрессии модели Блэка
13. Оценка риска в модели ценообразования финансовых активов
14. Индексы Ласпейреса Пааше
15. Ассимптотическое поведение биржевых индексов
16. Выбор весов в биржевом индексе
17. Управление финансовыми ресурсами банка
18. Сущность планирования финансовой деятельности коммерческого банка
19. Исследование процессов функционирования нового коммерческого банка
20. Оценка эффективности финансовой деятельности банка для двух- и трехуровневой системы управления банка

ЗАДАЧИ

1. Дайте определение детерминированного эквивалента плавающей процентной ставки в простейшем случае начисления процентов за пользование деньгами на единичном промежутке.

2. Найдите детерминированный вариант процентной ставки, если ее начисление происходит дважды: первая половина в момент =0,9; вторая половина — в момент =1,1.

4. Найдите детерминированный вариант процентной ставки, если момент ее начисления равномерно распределен на временном отрезке [ ; ] ( =0,9, =1,1).

5. Проанализируйте инвестиционный проект с параметрами: инвестиции = 1000, доход в первый год = 600, доход во второй год = 600, процентная ставка =8%. Окупаются ли инвестиции? Эксперты признали проект среднерисковым и увеличили процентную ставку дисконтирования будущих доходов до =13%. Окупятся ли инвестиции в этом случае?

6. Найдите математическое ожидание современной величины случайной ренты: платежи осуществляются раз вгод с равной вероятностью либо 1 октября, либо 1 декабря. Ставка равна .

7. Найдите математическое ожидание современной величины случайной ренты, в которой момент годового платежа равномерно распределен в текущем году.

8. В начале года страховая компания кладет в банк д.е. под % годовых. В любой момент года возможен страховой случай, когда компании придется выплатить д.е. страхового возмещения. Найдите математическое ожидание суммы на счете компании к концу года.

9. Что хорошо для владельца ценной бумаги: увеличение или уменьшение действующей процентной ставки в период владения этой бумагой, если эта бумага: а) облигация; б) акция; в) депозитный сертификат.

10. Найдите курс облигации без погашения с периодической — раз в год — выплатой процентов при = 8%, = 5%. Вычислите доходность такой облигации, если ее курс равен =120.

11. Найдите курс бескупонной облигации с выплатой процентов при погашении за 5 лет до погашения при = 4 %, если облигация выпущена на 10 лет и = 8%. Вычислите доходность такой облигации, если ее курс равен 100.

12. Найдите цену вечной акции с квартальными дивидендами =200 при годовой ставке = 8%.

13. Вычислите доходность операции учета векселя по ставке = 30% за =3 месяца до его оплаты (временная годовая база равна 360 дней — месяц равен 30 дням). При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере =0,5% от достоинства векселя.

14. Какова доходность ГКО (в процентах годовых и к погашению), если данный тираж был размещен по цене =71,8% от номинала (цены гашения)?

15. Дана купонная облигация со следующими характеристиками: номинал 1000 д.е., срок до погашения 9,5 лет, купонные платежи каждые полгода. Внутренняя доходность облигации = 9% годовых. Сравнить относительные изменения цены облигации при изменении ее внутренней доходности на величину = ± 2% для купонных ставок = 8% и = 9% годовых.

16. Рассматривается 8% купонная облигация номиналом 1000 д.е., по которой обещают производить купонные выплаты дважды в году в течение 3-х лет. Безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и равны 10% годовых.

а) Вычислить дюрацию и показатель выпуклости облигации;

б) оценить относительное изменение цены облигации при изменении процентных ставок на ± 1%, используя: а) только дюрацию облигации; б) дюрацию и показатель выпуклости облигации. Указать роль каждого из показателей в оценке изменения цены облигации. Представить графически зависимость от по формуле (9.9) и (9.10).

17. Даны две облигации с 10%-ными купонными ставками и номиналом 1000. Одна из них имеет срок до погашения = 4 года, а другая - = 15 лет. По обеим облигациям производятся ежегодные процентные платежи. Предположив, что внутренняя доходность облигаций возрастает с = 10% до = 14%, рассчитайте цену облигаций до и после изменения процентных ставок. Объясните различия в процентных изменениях цен облигаций.

18. Не производя вычислений, ранжируйте следующие облигации по дюрации (купонные платежи выплачиваются в конце каждого года), см. таблицу 9.3:

Таблица 9.3.

Облигация	Срок до погашения	Купонная ставка	Внутренняя доходность
А	30 лет	10 %	10%
В	30 лет	0 %	10 %
С	30 лет	10 %	7 %
D	5 лет	10 %	10 %

19. Инвестор рассматривает покупку 20-летней облигации, купонные платежи по которой выплачиваются каждые полгода. Номинал облигации = 1000 д.е., годовая купонная ставка = 8 %, доходность к погашению = 10 % годовых. Инвестор ожидает, что он сможет реинвестировать купонные выплаты по годовой ставке = 6% в течение = 3 лет. В конце - го года инвестор надеется продать облигацию с доходностью к погашению = 7 % годовых. Определить годовую доходность инвестиции в эту облигацию на = 3 года при этих условиях.

20. На рынке имеется 9% купонная облигация номиналом 1000 д.е., по которой обещают каждый год производить купонные выплаты в течение 5 лет. Безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 9% годовых. Найти планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации, если через = 0,5 года после покупки облигации процентные ставки снизились до = 8,5 %, а через = 1,5 года после покупки снова установились на уровне = 9 % годовых.

21. Дана 10%-ная купонная облигация с полугодовыми купонами. Внутренняя доходность облигации равна 6%. Определите дюрацию облигации, когда до ее погашения остается лет, если = 1,2,…,10. Зависимость дюрации от срока до погашения показать на рисунке.

22. Имеются облигации трех видов с данными, приведенными в таблице 10.1.

Таблица 10.1.

Срок (годы)
	-855,37	-291,74	-990,91
0,5	-	10,5	-
	-	10,5
1,5	-		-
		-

Построить поток платежей от портфеля , где – затраты на приобретение облигаций вида , = 1,2,3. Найти дюрацию и показатель выпуклости портфеля с параметрами (рыночную процентную ставку определить из условия задачи).

23. Дюрации пяти видов облигаций соответственно равны: 3; 3.5; 3.75; 4.2; 4.5 лет, а их показатели выпуклости – 10, 12, 15, 20 и 25 лет². Сформировать портфель из этих облигаций с дюрацией, равной 4 годам и наименьшим показателем выпуклости, если доли облигаций , , . Для полученного значения показателя выпуклости портфеля оценить относительное изменение цены портфеля при изменении рыночной процентной ставки с 9% до 8% годовых.

24. Инвестор через два года должен осуществить за счет своего портфеля платеж 1 млн. д.е. Инвестор рассматривает возможности инвестирования в облигации двух видов A1 и A2, параметры которых приведены в таблице 10.6.

Таблица 10.6.

Вид облигации	Номинал (д.е.)	Купонная ставка , %	Число платежей в год	Срок гашения , годы
A1				1 год
A2				3 года

Процентные ставки на рынке одинаковы для всех сроков и составляют 10 % годовых. Считая, что сразу после формирования портфеля процентные ставки поднялись до 11 % сформировать иммунизированный портфель, позволяющий инвестору через два года выполнить его обязательство.

25. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 8% годовых. На рынке имеются два вида купонных облигаций, параметры которых приведены в таблице 10.8.

Таблица 10.8.

Вид облигации	Номинал (д.е.)	Купонная ставка , %	Число платежей в год	Срок гашения , годы
А1		10%
А2		10%

Инвестор формирует портфель облигаций стоимостью 1000 д.е. с инвестиционным горизонтом 3 года. Рассчитать стратегию иммунизации этого портфеля для следующего изменения процентных ставок: 9% годовых сразу после формирования портфеля, 8 % годовых – непосредственно после момента = 1.

26. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10 % годовых. На рынке имеются два вида купонных облигаций со следующими параметрами, указанными в таблице 10.10.

Таблица 10.10.

Вид облигации	Номинал (д.е.)	Купонная ставка , %	Число платежей в год	Срок гашения , годы
А1		8 %
А2		8 %

Инвестор, располагая суммой 10050 д.е., желает сформировать портфель из указанных облигаций на 3 года. При покупке и продаже облигаций берутся комиссионные в размере 0,5 %. Рассчитать стратегию иммунизации этого портфеля для следующего изменения процентных ставок: 9% годовых сразу после формирования портфеля, 8 % годовых – непосредственно после момента = 1.

27. Реструктуризация государственного долга была произведена следующим образом. Долг в сумме =1,4 млрд. д.е., который должен быть выплачен 1 января 1995 года, преобразован в облигации, выпущенные под гарантии правительства. По этим облигациям государство, начиная с 1 января 1995 года дважды в год выплачивает равные суммы до 2007 года. Для реструктуризации долга использовалась ставка (сложная) = 3 % годовых. Какова сумма отдельного погасительного платежа?

28. С помощью компьютера найден оптимальный портфель Марковица для трех ценных бумаг с эффективностями и рисками: (4,10); (10,40); (40,80); нижняя граница доходности задана равной 15. Доли бумаг оказались равными: 46%, 28%,26%, минимальный риск — 25,4, доходность оказалась равной заданной — 15. Проверить компьютерные расчеты.

29. С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (4,10); (10,40); (40,80) (те же ценные бумаги, что и в примере 1); верхняя граница риска задана равной 50. Доли бумаг оказались равными: 6%, 34%,60%. Проверить компьютерные расчеты.

30. Имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью =4 и некоррелированные рисковые с эффективностями =8 и =14 и рисками =10 и =30, с помощью компьютера составили портфель Тобина эффективности 12. Доли бумаг получились такими: =-0,51, =1,18, =0,33. Проверьте компьютерные расчеты. Как понимать отрицательную долю безрисковых бумаг?

31. Решить задачу формирования портфеля Тобина минимального риска при наличии безрисковых бумаг и некоррелированных остальных в общем виде.

32. Сформировать портфель Тобина максимальной эффективности и риска не более заданного из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью =2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности =4 и =10 и рисками =2 и =4. Каковы соотношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля?

3. Дайте определение детерминированного эквивалента плавающей процентной ставки в простейшем случае начисления процентов за пользование деньгами на единичном промежутке.

33. Через 1, 2 и 3 года инвестору предстоят выплаты соответственно в размерах 400, 600 и 1000 д.е. На рынке имеются облигации А1 и A2 со следующими параметрами (см. таблицу 10.12):

Таблица 10.12.

Облигация	С1	С2	С3
А1
A2

Рыночная ставка для всех сроков равна 5% годовых. Сформировать портфель наименьшей стоимости, позволяющий инвестору:

1) выполнить его обязательства;

2) выполнить его обязательства при условии, что часть платежа, поступающего от портфеля, используется для выполнения обязательства через год.

34. Реструктуризация государственного долга была произведена следующим образом. Долг в сумме =1,4 млрд. д.е., который должен быть выплачен 1 января 1995 года, преобразован в облигации, выпущенные под гарантии правительства. По этим облигациям государство, начиная с 1 января 1995 года дважды в год выплачивает равные суммы до 2007 года. Для реструктуризации долга использовалась ставка (сложная) = 3 % годовых. Какова сумма отдельного погасительного платежа?

Образец зачетного билета

Томский политехнический университет

Билет № 1

по дисциплине Финансовая математика

факультет ЕНМФ

курс 5, семестр 9

1. Дюрация и показатель выпуклости портфеля

1. Выбор весов в биржевом индексе
2. Задача. Какова доходность ГКО (в процентах годовых и к погашению), если данный тираж был размещен по цене p=71,8% от номинала (цены гашения)?

Составил: профессор ВММФ Мицель А.А

Утверждаю Зав. кафедрой ВММФ

проф. Трифонов А.Ю.