Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши

F(x,y,y’)=0 – дифф. ур-е 1-го порядка

y’=f(x,y) (2)– дифф. ур-е 1-го порядка, разрешенным относ. производной

Общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения – это соотношение

содержащее и существенных произвольных постоянных C₁,..., C_n, следствием которого является данное дифференциальное уравнение:

F (x, у, у',..., y ⁽ⁿ⁾) =0

F(х, у, C₁,..., C_n) =0,

Семейство решений ур-я (2) вида y=φ(x,c), зависящее от производной постоянной С назыв. общим. решением. Если придать С числ. значение, то поулчим частное решение.

Графические задача Коши означ., что из мн-ва всех интегральных кривых требуется найти ту, кот. проходит через точку (x0,y0)

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

y’+p(x)=q(x) (1)

y=uv, u=u(x), v=v(x) – некот. ф-ции, зав. от х подставив получим

u’v+uv’+p(x)uv=q(x)

u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)

v’+p(x)v=0 (2)

u’v=q(x) (3)

2 и 3 идут как система

v=v(x)

u’=q(x)/v(x)

u=Sq(x)/v(x)dx