Решение. 1) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки

1) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки . Итак, .

2) Найдем точки пересечения с осями координат.

а) с осью ОХ: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - .

б) с осью ОY: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОY - .

3) Функция общего вида, так как .

Функция непериодическая.

4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Имеем .

Следовательно, точка будет подозрительной на экстремум. Точка , в которой производная не существует, но в этой точке не существует и функция. Разбиваем всю область определения на промежутки , , и исследуем функцию на указанных интервалах. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:

				нет
	Убывает		Возрастает	нет	Убывает

5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:

.

Находим точки, в которых или не существует: при , не существует при .Исследуем знак второй производной на промежутках , , и результаты исследований представим в таблице:

				нет
	Вогнута	Перегиб	Выпукла	нет	Выпукла

6) Найдем вертикальные асимптоты:

Исследуем поведение функции в окрестности точки :

; .

Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: .

Найдем наклонную асимптоту :

;

.

Следовательно, наклонная асимптота: .

7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.2).

Рис. 2