2015-05-14
1781) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки 
. Итак, 
.
2) Найдем точки пересечения с осями координат.
а) с осью ОХ: 
.
Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - 
.
б) с осью ОY: 
.
Следовательно, точка пересечения с осью ОY - .
3) Функция общего вида, так как 
.
Функция непериодическая.
4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Имеем 
.
Следовательно, точка 
будет подозрительной на экстремум. Точка 
, в которой производная не существует, но в этой точке не существует и функция. Разбиваем всю область определения на промежутки 
, 
, 
и исследуем функцию на указанных интервалах. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:
|
| 
|
| 
|
|
| 
| 
| 
| нет | 
|
| Убывает | 
| Возрастает | нет | Убывает |
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:
.
Находим точки, в которых 
или 
не существует: 
при 
, не существует при 
.Исследуем знак второй производной на промежутках 
, 
, 
и результаты исследований представим в таблице:
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
|
| 
| нет |
|
|
| Вогнута | Перегиб | Выпукла | нет | Выпукла |
6) Найдем вертикальные асимптоты:
Исследуем поведение функции в окрестности точки 
:
; 
.
Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: .
Найдем наклонную асимптоту 
:
;
.
Следовательно, наклонная асимптота: 
.
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.2).
Рис. 2
