Описание и работа установки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ МОЛЕКУЛЯРНЫХ

ХАРАКТЕРИСТИК ВОЗДУХА

Цель работы

Экспериментальное определение коэффициента вязкости воздуха, длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул, являющихся важными характеристиками молекулярной структуры газа.

Теория вопроса

В газах и жидкостях вследствие хаотических молекулярных перемешиваний происходят необратимые процессы переноса массы, энергии, импульса, которые могут самопроизвольно протекать только в одном направлении. Это так называемые явления переноса, к которым относятся: диффузия, термодиффузия, теплопроводность, электропроводность, вязкость и др. В настоящей работе изучается явление вязкости в газе.

Рис. 1

При движении слоев газа относительно друг друга возникают силы трения. Более быстрый слой увлекает слой, движущийся медленнее, действуя на него с некоторой силой F (рис. 1). Со стороны более медленного слоя на слой, движущийся быстрее, действует задерживающая сила F. Эти, так называемые, силы внутреннего трения направлены по касательной к поверхности слоев. Величина силы внутреннего трения F прямо пропорциональна площади DS рассматриваемых слоев и зависит от того, как велико изменение скорости при переходе от слоя к слою.

Пусть два слоя (рис. 1), расстояние между которыми равно Dl, движутся со скоростями v₁ и v₂. Величина:

,

которая показывает изменение скорости на единице длины в направлении, перпендикулярном скорости движения слоев, называется градиентом скорости. Зависимость силы внутреннего трения от площади слоя и градиента скорости составляет содержание закона Ньютона:

(1).

Величина h зависит от природы газа и называется коэффициентом вязкости или коэффициентом внутреннего трения. Из закона Ньютона следует, что если c^-1, то h=F. Следовательно, коэффициент вязкости численно равен силе, действующей на единицу поверхности трущихся слоев, при градиенте скорости, равном единице и направленном перпендикулярно скорости движения слоев.

Единица измерения р также может быть установлена из закона Ньютона. Из формулы (1) следует:

Подставив единицы измерения физических величин в правую часть формулы, получим единицу измерения р: в СИ – 1Па с, в системе СГС – 1 дин.с/см². Единица измерения в СИ – паскаль – секунда – вязкость такой среды, в которой на каждый квадратный метр слоя действует сила 1 Н при градиенте скорости, равном 1 с^-1. Ее размерность: [h] = L^-1MT^-1. Единица измерения h в системе СГС – длина – секунда на сантиметр в квадрате (называется пуаз) – вязкость такой среды, в которой на каждый квадратный сантиметр слоя действует сила 1 дин при градиенте скорости, равном 1 с^-1. Размерность пуаза такая же, как в СИ.

С молекулярно-кинетической точки зрения в текущем газе на скорость беспорядочного теплового движения молекул накладывается скорость направленного движения, одинаковая для всех молекул данного слоя и различная для разных слоев. Молекулы, переходя благодаря хаотическому движению из более быстрого слоя в более медленный, переносят с собой большую составляющую количества движения и тем самым ускоряют более медленный слой и наоборот, молекулы, перешедшие из более медленного в более быстрый, имеют меньшую составляющую количества движения, в результате чего они задерживают более быстрый слой. Мысленно выделим в газе площадку DS (рис. 2), параллельную слоям, текущим с различными скоростями v₁ и v₂. Пусть слой 1 лежит под площадкой на расстоянии средней длины свободного пробега молекул . Тогда молекулы, летящие из слоя 1 по направлению к площадке, достигнут ее без столкновения.

Определим число молекул, пролетающих через площадку за время Dt. Прежде всего, ввиду полной хаотичности движения можно считать, что вдоль каждой координатной оси движется 1/3 часть всех молекул.

Рис. 2

Из них только половина движется в направлении положительной оси z, другая половина – противоположном направлении, Таким образом, к площадке DS будет двигаться 1/6 часть всех молекул, находящихся под площадкой. За время Dt площадки DS достигнут все молекулы, находящиеся от нее не далее, чем на расстоянии Dt, где средняя арифметическая скорость теплового движения молекул. Эти молекулы, находящиеся от площадки не далее расстояния Dt, очевидно, занимают объем, равный DS Dt, а число этих молекул составит nDS Dt, где n – концентрация молекул, т. е. число молекул в единице объема газа. Учитывая, что не все молекулы этого объема движутся к площадке DS, а только 1/6 часть, получим число молекул Dt, пролетающих площадку DS без столкновения за время Dt из слоя 1:

. (2)

Эти Dn₁ молекул перенесут через площадку DS импульс DК₁, равный:

, где m – масса молекулы

Точно также из слоя 2, лежащего над площадкой на расстоянии l, через площадку DS за время Dt будет перенесен импульс:

Поскольку плотность газа считается одинаковой повсюду, то n будет одинаковым как над, так и под площадкой. В результате этих двух переносов количества движения, происходящих в противоположных направлениях, через площадку DS будет перенесено количества движения:

.

Разность скоростей слоев, отстоящих друг от друга на расстоянии Dl=2 , может быть записана:

.

Отношение – градиент скорости по направлению z. Тогда:

.

Так как произведение nm=плотности газа r, получим:

.

Тогда сила F, действующая со стороны более медленного слоя на более быстрый:

.

Сравнивая это выражение с формулой (1), находим, что они совпадают, если положить коэффициент внутреннего трения равным:

. (3)

Опытное определение коэффициента вязкости с использованием полученного соотношения связано с трудностями экспериментального осуществления измерения средней длины свободного пробега молекул . Поэтому формулу (3) используем для определения , а величину h найдем, исходя из формулы Пуазейля.

Французский ученый Пуазейль установил, что cpeдняя скорость ламинарного движения жидкости по трубе пропорциональна падению давления на единице длины трубы, квадрату радиуса трубы и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости:

, (4)

где p₁ и p₂ – давление на концах трубы; l – длина трубы; r – радиус трубы.

Объем жидкости, протекшей через трубу площадью сечения

S = pr² за время t, определится по формуле:

.

Учитывая (4), получим для объема протекающей жидкости:

. (5)

Полученная формула Пуазейля справедлива также для ламинарного (слоистого) движения газа. Если при истечении газа разность давлений (p₁ - p₂) на концах трубки невелика, то его плотность вдоль оси трубки остается практически неизменной и его можно считать несжимаемым. Экспериментально определив необходимые величины, можно рассчитать по формуле:

h= , или, заменяя p₁ - p₂=Dp:

, (6)

где V/Dt – расход газа в единицу времени.

Эта формула дает верные значения h только при ламинарном течении, характеризующимся отсутствием перемешивания между соседними слоями газа, что имеет место при малых скоростях течения. Если же скорость потока превышает известный предел, слои начнут интенсивно и неупорядоченно перемешиваться. Течение станет турбулентным. При турбулентном течении формула (6) дает завышение значения h, так как для создания той же скорости потока необходима большая разность давления на концах трубки.

Определим теперь среднюю длину свободного пробега молекул газа.

Длина свободного пробега есть путь, проходимый молекулами между двумя столкновениями. Среднюю длину свободного пробега молекул можно получить, разделив средний путь, проходимый за единицу времени, на среднее число столкновений в единицу времени . Так как путь, проходимый в единицу времени, численно равен скорости , то средняя длина свободного пробега молекул:

. (7)

Величину определим, исходя из следующих соображений. Предположим, молекула, представляющая шарик радиусом r движется со скоростью . Для простоты будем считать, что все остальные молекулы покоятся. Тогда молекула заденет на своем пути все те молекулы, центры которых лежат не дальше 2r от прямой, вдоль которой она движется.

Рис. 3

Таким образом, за единицу времени молекула заденет все те молекулы, центры которых лежат внутри цилиндра радиуса R=2r и длиной l, численно равной скорости молекулы (рис. 3). Число молекул внутри такого цилиндра, а следовательно и среднее число соударений с движущейся молекулой:

,

где n – число молекул в единице объема. Подставляя сюда R=2r, получим выражение для среднего числа столкновений молекул в единицу времени:

.

Если учесть, что остальные молекулы тоже движутся, то истинное значение будет в раза больше z_теор

.

После введения вместо радиуса молекулы ее эффективного диаметра s=2r получим:

.

Подставив это в уравнение (7), получим:

. (8)

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории следует:

,

где p – давление газа; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура газа.

Тогда:

. (9)

Полученная формула позволяет определить эффективный диаметр молекул, т.е. наименьшее расстояние между центрами при тепловых соударениях.

Как было сказано, l найдем из (3). Измерив давление и температуру Т, можно вычислить эффективный диаметр молекул воздуха по формуле:

(10)

Получив (9), проанализируем формулу (3). Плотность газа определим из уравнения Менделеева-Клапейрона:

(11)

Для средней арифметической скорости молекулярно-кинетическая теория дает:

(12)

таким образом, формула (3) примет вид:

(13)

где N_A – число Авогардо.

Как показывает последнее соотношение, коэффициент вязкости газов, в отличие от жидкостей, растет при увеличении температуры. Это объясняется возрастанием средней скорости теплового движения молекул и, следовательно, увеличением числа частиц, переходящим из одного слоя газа в другой. На первый взгляд парадоксально отсутствие зависимости h от давления р. Ведь при уменьшении давления уменьшается плотность газа, что должно вести к уменьшению h. Но при этом имеет место возрастание длины свободного пробега молекул, компенсирующее уменьшение плотности. Правда, давление можно уменьшить до такой степени, что l будет равна размерам сосуда и дальнейшее ее увеличение при разрешении прекратится, что приведет к уменьшению h за счет убывания r.

В данной работе формула (3) может быть использована для вычисления длины свободного пробега молекулы :

= 3h/(r )

С учетом (11) и (12):

(14)

Описание и работа установки

Рис. 4

Работа выполняется с помощью капиллярного вискозиметра, изображенного на рис. 4.

Воздух, нагнетаемый микрокомпрессором МК, попадает в баллон Б, где сглаживаются пульсации давления. Далее воздух проходит через ротаметр Р, который измеряет расход газа, т. е., объем воздуха, проходящего по трубке в единицу времени. Ротаметр представляет собой стеклянную трубку, внутренний канал которой расширяется кверху. Внутри канала находится металлический шарик. При прохождении воздуха через ротаметр шарик поднимается, причем тем выше, чем больше скорость воздушного потока. Следовательно, по высоте подъема шарика можно судить о скорости и расходе воздуха. Затем воздух идет через капилляр Кп, разность давления на концах которого измеряется манометром М. Измерив расход воздуха V/t, разность давления на концах капилляра Dр, зная длину капилляра lи его радиус R, можно по формуле (6) рассчитать коэффициент вязкости.

Устройство манометра также показано на рис. 4. На основании укреплен герметический сосуд со спиртом, на верхней крышке которого находятся отверстие с пробкой (1) для заливки, регулятор нулевого положения мениска (2), служащий для подгонки мениска* спирта в измерительной трубке (3) к нулевой риске шкалы, и трехходовой кран КР₂.

*Мениск (от греч. мeniskos — полумесяц) — искривленная поверхность жидкости внутри узкой трубки (капилляра) или между твердыми стенками.

Трехходовой кран имеет три штуцера (+, -, 4) и отверстие (0) для соединения с атмосферой. Штуцер (+) соединен резиновой трубкой с тем концом капилляра, у которого давление больше, а штуцер (-) — с другим концом, где давление меньше. Штуцер (4) соединен с верхним (правым) концом измерительной трубки. Нижний (левый) ее конец соединен с резервуаром через его дно. Для изменения наклона трубки ее можно поворачивать вокруг оси, проходящей через нулевую отметку шкалы, нанесенной на трубке. Угол наклона трубки можно менять с помощью фиксатора (5) и дуги (6).

При равенстве давления на концах капилляра, оно будет одинаковым и над поверхностями спирта в резервуаре и трубке. В этом случае спирт устанавливается в трубке на нулевом делении. Когда же, например, у правого конца капилляра давление больше, чем у левого, тогда спирт будет переходить из резервуара в трубку и подниматься по ней до тех пор, пока гидростатическое давление в трубке не сравняется с разностью давления на концах капилляра.

Для того чтобы можно было производить отсчеты более точно, стеклянная трубка устанавливается не вертикально, а наклонно. С уменьшением угла наклона трубки уменьшается цена деления шкалы и, следовательно, возрастает точность измерений.