Показатели качества регрессии

Надежность получаемых оценок a₀ и a₁ зависит от дисперсии отклонений переменной у от оцененной линии регрессии e_i = у _i – a₀ – a₁ х _i. Несмещенная оценка дисперсии случайной составляющей вычисляется по формуле

, (8)

и является мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии (необъясненная дисперсия).

В качестве меры того, насколько хорошо регрессия описывает данную систему наблюдений, служит коэффициент детерминации, при этом вычисляются следующие суммы квадратов отклонений:

S²= å_i (y _i – )² – фактических значений от их среднего арифметического;

Ŝ²= å_i (ŷ _i – )² – выровненных значений от среднего арифметического

фактических значений;

Š²= å_i (y _i – ŷ _i)² – фактических от выровненных значений.

Имеет место равенство S²= Ŝ² + Š².

Коэффициент детерминации есть отношение объясненной части вариации ко всей вариации в целом

R²= Ŝ² / S² =1 – Š²/S². (9)

Таким образом, чем «ближе» этот коэффициент к единице, тем лучше описание, разумеется, если при этом модель методически правильна.

Пример 1. Исследуем зависимость розничного товарооборота (млрд. руб.) магазинов от среднесписочного числа работников. В табл.1 во втором и третьем столбцах приведены значения соответственно объемов розничного товарооборота(у) и среднесписочного числа работников(х), а в следующих столбцах – значения необходимых расчетных величин.

Таблица 1

номер	у	х	(х – )2	(у – )2	х2	ху	ŷ	ε	ε2
	0,5			0,49		36,5	0,43	0,07	0,0049
	0,7			0,25		59,5	0,661	0,039	0,0015
	0,9			0,09		91,8	0,998	-0,098	0,0096
	1,1			0,01		126,5	1,239	-0,139	0,0193
	1,4			0,04		170,8	1,373	0,027	0,0007
	1,4			0,04		176,4	1,45	-0,05	0,0025
	1,7			0,25		227,8	1,604	0,096	0,0092
	1,9			0,49		279,3	1,854	0,046	0,0021
сумма	9,6			1,66		1168,6	9,592	0,001	0,0479
средн.	1,2		544,5	0,2075	13313,5	146,075	1,199	0,0001	0,0060

В соответствии с (6)

a₁=( – × )/( – ()²) =(146,075 – 113×1,2)/544,5=0,01924;

a₀=(() × – × )/( –()²)=(13313,5×1,2–113×146,075)/544,5= -0,974.