Тема 5. Модели стационарных и нестационарных временных рядов

Временным рядом (динамическим рядом) называется набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда.

В общем виде при исследовании экономических процессов временного ряда выделяются несколько составляющих:

y_t= u_t + v_t + c_t + ε_t (t= 1, 2, …, n),

где u_t – тренд, v_t – сезонная компонента, c_t – циклическая компонента, ε_t – случайная компонента.

Стационарные временные ряды.

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд y_t (t= 1, 2, …, n) называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений y₁, y₂,…, y_n такое же, как и n наблюдений y_1+τ, y_2+τ,…, y_n_+τ при любых n, t, и τ. Таким образом, свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y₁, y₂, …, y_n и y_1+τ, y_2+τ, …, y_n_+τ можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции r(τ):

Так как он оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции.

Функция r(τ) называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график - коррелограммой.

Кроме автокорреляционной функции при исследовании стационарных временных рядов рассматривают частную автокорреляционную функцию. Статистической оценкой частного коэффициента корреляции является выборочный частный коэффициент корреляции (или просто частный коэффициент корреляции):

где r_ij, r_ik r_jk – выборочные коэффициенты корреляции.

Так, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y_t и y_t₊₂ при устранении влияния y_t₊₁ определяется по формуле:

где r(1), r(1,2), r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y_t и y_t₊₁, y_t₊₁ и y_t₊₂, и y_t и y_t₊₂ соответственно.

Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является подбор соответствующей модели: авторегрессионной АР(p), скользящей средней СС(q) или авторегрегрессионной модели скользящей средней АРСС(p,q) для остатков модели (в литературе можно встретить англоязычные названия моделей: авторегрессионной – АR(p), скользящей средней – MA(q) и авторегрегрессионной модели скользящей средней АRMA(p,q).)

Идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной АРСС-модели, в которой остатки представляют собой белый шум, а все регрессоры значимы. Такое представление, как правило, не единственное, и один и тот же ряд может быть идентифицирован и с помощью АР-модели, и с помощью СС-модели.

Авторегрессионная модель порядка p (модель АР(p)) имеет вид:

y_t = β₀ + β₁ y_t_-1+ β₂ y_t_-2+…+ β_p y_t_-_p+ε_t, (t= 1, 2, …, n),

где β₀, β₁,… β_p – некоторые константы.

Если исследуемый процесс y_t в момент t определяется его значениями только в преды-дущий период t-1, то получаем авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель АР(1)).

y_t = β₀ + β₁ y_t_-1 +ε_t, (t= 1, 2, …, n),

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней. В них моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка q (модель СС(q)) имеет вид:

y_t = ε_t – γ₁ε_t_-1 – γ₂ε_t_-2 –…– γ_qε_t_-_q (t= 1, 2, …, n).

Нередко используются и комбинированные модели временных рядов АР и СС, которые имеют вид:

y_t = β₀ + β₁ y_t_-1+ β₂ y_t_-2+…+ β_p y_t_-_p+ ε_t – γ₁ε_t_-1– γ₂ε_t_-2–…– γ_qε_t_-_q.

Если все значения выборочной частной автокорреляционной функции порядка выше p незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели, порядок авторегрессии которой не выше p.

Если все значения выборочной автокорреляционной функции порядка выше q незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели скользящей средней, порядок которой не выше q.

Нестационарные временные ряды.

Пусть имеется временной ряд

y_t = ρy_t_-1+ ξ_t.

Предположим, что ошибки ξ_t независимы и одинаково распределены, т.е. образуют белый шум. Перейдем к разностным величинам:

Δ y_t = λy_t_-1+ ξ_t,

где Δ y_t = y_t – y_t_-1, λ= ρ-1.

Если ряд Δy_t является стационарным, то исходный нестационарный ряд y_t называется интегрируемым (или однородным).

Нестационарный ряд y_t называется интегрируемым (однородным) k-го порядка, если после k -кратного перехода к приращениям

d^ky_t = d^k-1y_t – d^k-1y_t-1,

где d¹y_t = Δy_t, получается стационарный ряд d^ky_t.

Если при этом стационарный ряд d^ky_t корректно идентифицируется как АРСС(p,q), то нестационарный ряд y_t обозначается как АРПСС(p,k,q). Это означает модель авторегрессии – проинтегрированной скользящей средней (другое обозначение - ARIMA(p,k,q)) порядков p, k, q, которая известна как модель Бокса-Дженкинса. Процедура подбора такой модели реализована во многих эконометрических пакетах.

Модели с распределенными лагами.

При исследовании экономических процессов приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными. Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называют моделями с распределенными лагами:

В случае конечной величины максимального лага модель имеет вид:

y_t = a + b₀x_t + b₁x_t-1 + … + b_lx_t-l + ε_t.

Коэффициент b₀ характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле:

b = b₀ + b₁ + … + b_l.

Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора x.

Величины β_j = b_j / b (j = 0,…, l) называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом.

Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора. Высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

Медианный лаг (l_Me) – представляет собой период времени, в течение которого буде реализована половина общего воздействия фактора на результат и определяется следующим соотношением:

Оценка модели с распределенными лагами зависит от того, конечное или бесконечное число лагов она содержит.

Метод Алмон.

Предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному закону распределения:

b_j= c₀ + c₁·j + c₂·j² + … + c_k·j^k. (5.1)

Уравнение регрессии примет вид:

y_t = a + c₀·z₀ + c₁·z₁ + c₂·z₂ + … + c_k·z_k + ε_t, (5.2)

где , i = 1,…, k; j =0,…, l. (5.3)

Схема расчета параметров модели:

1. устанавливается максимальная величина лага l;

2. определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;

3. по соотношениям (5.3) рассчитываются значения переменных z₀, z₁,…, z_k;

4. обычным методом наименьших квадратов определяются
параметры уравнения линейной регрессии y_t от z_i (5.2);

5. рассчитываются параметры исходной модели по формулам (5.1).

Метод Койка.

Предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях переменной убывают в геометрической прогрессии:

, j = 1, 2, … 0 < λ < 1. (5.4)

Уравнение регрессии преобразуется к виду:

y_t = a + b₀x_t + b₀·λ x_t-1 + b₀·λ² x_t-2 +… + ε_t.

После ряда преобразований получается уравнение авторегрессии первого порядка:

y_t = a·(1 – λ) + b₀·x_t + (1 – λ) y_t-1 + u_t,

где u_t = ε_t – λ ε_t-1.

Определив параметры данной модели, находятся λ и оценки параметров a и b₀ исходной модели. Далее из соотношения (5.4) определяются параметры модели b₁, b₂,….

Величина среднего лага в модели Койка определяется формулой:

Пример 5. По данным о динамике товарооборота (Y, млрд. руб.) и доходах населения (X, млрд. руб.) была получена следующая модель с распределенными лагами:

Y_t = 0,50∙ X_t + 0,25∙ X_t_-1 + 0,13∙ X_t_-2 + 0,13∙ X_t_-3 + ε_t.

(0,06) (0,04) (0,04) (0,06)

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии. Значение R ² = 0,98.

Задание:

1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.

2. Дайте интерпретацию параметров модели: определить краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.

3. Определите величину среднего лага и медианного лага.

Решение.

1. Проверка значимости отдельных коэффициентов модели дает следующие расчетные значения t-статистики для коэффициентов:

t_b₀ = 0,50/0,06 = 8,33; t_b₁ = 0,25/0,04 = 6,25;

t_b₂ = 0,13/0,04 = 3,25; t_b₃ = 0,13/0,06 = 2,17.

Таким образом, все коэффициенты оказываются значимыми, и выбор величины лага l =3 является оправданным. Об адекватности полученной модели свидетельствует и высокое значение коэффициента детерминации.

2. Краткосрочный мультипликатор в модели равен b₀ = 0,50. Он показывает, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. ведет в среднем к росту товарооборота на 0,5 млрд. руб. в том же периоде.

Долгосрочный мультипликатор для полученной модели составит:

b = b₀ + b₁ + b₂ + b₃ = 0,50 + 0,25 + 0,13 + 0,13 = 1,01.

Получаем, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. в настоящий момент времени в долгосрочной перспективе (через 3 месяца) приведет к росту товарооборота на 1,01 млрд. руб.

Рассчитаем относительные коэффициенты модели:

β₀ = 0,50/1,01 = 0,495; β₁ = 0,25/1,01 = 0,248;

β₂ = 0,13/1,01 = 0,129; β₃ = 0,13/1,01 = 0,129.

Следовательно, 49,5% общего увеличения товарооборота, вызванного ростом доходов населения, происходит в текущий момент времени; 24,8% - в момент времени (t +1); 12,9% - в моменты времени (t +2) и (t +3).

3. Средний лаг в модели определяется следующим образом: