Пусть имеется временной ряд 4,72; 5,57; 7,45; 8,59; 9,52; 10,66; 12,65; 15,14; 17,05; 20,46; 23,03; 27,52; 31,72; 36,34; 42,59.
1. Коррелограммой называется график функции rτ, где rτ - выборочная автокорреляционная функция, значения которой ищутся по формуле:
.
При построении коррелограммы будем ориентироваться на то, что количество значений rτ принято выбирать из условия τ ≤ n / 4. В нашем случае n = 15, откуда t £ n /4» 4, поэтому нам предстоит вычислить r 1, r 2, r 3, r 4.
Ищем r 1 для τ = 1. Для удобства расчетов используем таблицу 5, в нижней строке которой поместим суммы по ее столбцам.
Таблица 5 – Вспомогательная таблица для расчетов
xt | xt +1 | xtxt +1 | ||
4,72 5,57 7,45 8,59 9,52 10,66 12,65 15,14 17,05 20,46 23,03 27,52 31,72 36,34 | 5,57 7,45 8,59 9,52 10,66 12,65 15,14 17,05 20,46 23,03 27,52 31,72 36,34 42,59 | 22,2784 31,0249 55,5025 73,7881 90,6304 113,6356 160,0225 229,2196 290,7025 418,6116 530,3809 757,3504 1006,1584 1320,5956 | 31,0249 55,5025 73,7881 90,6304 113,6356 160,0225 229,2196 290,7025 418,6116 530,3809 757,3504 1006,1584 1320,5956 1813,9081 | 26,2904 41,4965 63,9955 81,7768 101,4832 134,8490 191,5210 258,1370 348,8430 471,1938 633,7856 872,9344 1152,7048 1547,7206 |
230,42 | 268,29 | 5099,9014 | 6891,5311 | 5926,7316 |
Таким образом, получаем:
|
|
.
Для вычисления r 2 заполним таблицу 6.
Таблица 6 – Вспомогательная таблица для расчетов
xt | xt +2 | xtxt +2 | ||
4,72 5,57 7,45 8,59 9,52 10,66 12,65 15,14 17,05 20,46 23,03 27,52 31,72 | 7,45 8,59 9,52 10,66 12,65 15,14 17,05 20,46 23,03 27,52 31,72 36,34 42,59 | 22,2784 31,0249 55,5025 73,7881 90,6304 113,6356 160,0225 229,2196 290,7025 418,6116 530,3809 757,3504 1006,1584 | 55,5025 73,7881 90,6304 113,6356 160,0225 229,2196 290,7025 418,6116 530,3809 757,3504 1006,1584 1320,5956 1813,9081 | 35,164 47,8463 70,924 91,5694 120,428 161,3924 215,6825 309,7644 392,6615 563,0592 730,5116 1000,0768 1350,9548 |
194,08 | 262,72 | 3779,3058 | 6860,5062 | 5090,0349 |
Таким образом, получаем:
.
Аналогично вычисляем r 3 = 0,997; r 4 = 0,996.
Так как выборочная автокорреляционная функция rτ медленно убывает, то таким же образом ведет себя и коррелограмма. Этот факт говорит о нестационарности временного ряда, поэтому можно предположить, что у этого ряда имеется тренд среднего уровня (точнее, имеется тренд у математического ожидания этого ряда).
2. Оценим форму кривой тренда. Для этого построим корреляционное поле (рис. 2).
Рисунок 2 – Корреляционное поле ряда
Форма корреляционного поля указывает на две наиболее возможные зависимости:
xt = a + bt (b > 0),
xt = a *exp(bt) (b > 0).
Критерием выбора зависимости является в данном случае проверка выполнения условий:
,
.
Если по результатам вычислений будет принято первое из этих условий, то выберем линейную модель тренда. В противном случае выберем экспоненциальную модель.
Имеем для первого условия
, ,…,
.
В результате получили
{0,85; 1,88; 1,14; 0,93; 1,13; 1,99; 2,49; 1,90; 3,41; 2,57; 4,49; 4,20; 4,67; 6,25}.
Имеем для второго условия
.
В результате получили:
{0,17; 0,29; 0,14; 0,10; 0,11; 0,17; 0,18; 0,12; 0,18; 0,12; 0,18; 0,14; 0,16}.
|
|
Для экспоненциальной зависимости равенство более приемлемо, чем для линейной, поэтому выбираем экспоненциальную модель тренда.
3. Оценим параметры a и b выбранной модели, решив систему нормальных уравнений МНК, которая для рассматриваемого случая имеет вид:
Вычисляем необходимые суммы:
,
в результате чего получаем систему:
Решаем ее, например, по формулам Крамера. Тогда:
.
Замечание. В проведенных вычислениях по решению системы нужно оставлять максимально возможное количество десятичных знаков в промежуточных результатах.
Итак, получили модель тренда:
xt = 4,353*exp(0,153* t),
которая графически представлена на рисунке 3.
4. Проверим правильность выбора полученной модели на основе поведения ряда остатков. Модель считается правильной в случае отсутствия автокорреляции остатков. Такую модель можно в дальнейшем использовать как инструмент точечных и интервальных прогнозов.
Одним из наиболее простых и достаточно надежных критериев определения автокорреляции остатков является критерий Дарбина-Уотсона. Статистика этого критерия имеет вид:
.
Рисунок 3 – Модель тренда
Эта статистика заключена в пределах от 0 до 4. При отсутствии автокорреляции d ≈ 2. При полной положительной автокорреляции d ≈ 0. При полной отрицательной автокорреляции d ≈ 4.
Для d -статистики найдены верхняя (upper) du и нижняя (low) dl критические границы на различных уровнях значимости.
Если фактически наблюдаемое значение d:
a) du < d < 4 – du, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;
б) dl ≤ d ≤ du или 4 – du ≤ d ≤ 4 – dl, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым;
в) 0 < d < dl, то принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции;
г) 4 – dl < d < 4, то принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции.
Ниже приведен фрагмент таблицы значений статистик dl и du критерия Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05 (табл. 7).
Таблица 7 – Фрагмент таблицы значений статистик dl и du критерия Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05
Число наблюдений n | Число объясняющих переменных p = 1 | |
dl | du | |
1,08 | 1,36 | |
1,20 | 1,41 | |
1,29 | 1,45 | |
1,35 | 1,49 | |
1,50 | 1,59 |
Зададимся уровнем значимости α = 0,05 и приступим к проверке наличия автокорреляции остатков для рассматриваемого временного ряда по полученной модели тренда:
xt = 5,353*exp(0,153* t).
Расчет сумм, необходимых для вычисления d -статистики приводим в таблице 8.
Таблица 8 – Вспомогательная таблица для расчетов
t | xt | ||||||
4,72 | 5,073 | -0,353 | - | - | - | ||
5,57 | 5,911 | -0,341 | -0,353 | 0,120 | 0,116 | ||
7,45 | 6,889 | 0,561 | -0,341 | -0,191 | 0,315 | ||
8,59 | 8,027 | 0,563 | 0,561 | 0,316 | 0,317 | ||
9,52 | 9,355 | 0,165 | 0,563 | 0,093 | 0,027 | ||
10,66 | 10,901 | -0,241 | 0,165 | -0,040 | 0,058 | ||
12,65 | 12,703 | -0,053 | -0,241 | 0,013 | 0,003 | ||
15,14 | 14,804 | 0,336 | -0,053 | -0,018 | 0,113 | ||
17,05 | 17,251 | -0,201 | 0,336 | -0,067 | 0,040 | ||
20,46 | 20,103 | 0,357 | -0,201 | -0,072 | 0,127 | ||
23,03 | 23,426 | -0,396 | 0,357 | -0,141 | 0,157 | ||
27,52 | 27,299 | 0,221 | -0,396 | -0,087 | 0,049 | ||
31,72 | 31,813 | -0,093 | 0,221 | -0,020 | 0,009 | ||
36,34 | 37,072 | -0,732 | -0,093 | 0,068 | 0,536 | ||
42,59 | 43,201 | -0,611 | -0,732 | 0,447 | 0,373 | ||
å | 0,421 | 2,240 | |||||
Вычисляем d -статистику:
.
Обратившись к таблице 7 для n = 15, получаем du = 1,36; 4 – du = 2,64, откуда видно выполнение условия du < d < 4 – du, то есть можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции остатков и о том, что модель тренда выбрана правильно.
Рекомендуемый список литературы для выполнения практических работ
Основная литература
1. Елисеева И.И. Эконометрика. – М.: «Финансы и статистика» – 2011. – 288 с.
2. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике. – М.: «Финансы и статистика» – 2007. – 344 с.
3. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования. – М.: КомКнига, 2006. – 432 с.
Дополнительная литература
|
|
1. Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие. – Мн., Новое знание, 2002. – 408 с.
2. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М., 2003, – 402 с.
3. Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. Начальный курс. – М., Дело, 2000. – 400 с.
4. Тихомиров Н.П, Дорохина Е.Ю. Эконометрика. – М., Экзамен, 2003. – 512 с.
Учебно-методическая литература
1. Янчушка З.И. Математическое моделирование экономических процессов с помощью парных регрессионных моделей. Учебно-методическое пособие по выполнению РГР по дисциплине «Эконометрика». – Уфа, Изд-во УГНТУ, 2010. – 27 с.
2. Янчушка З.И., Янчушка А.П. Математическое моделирование экономических процессов с помощью моделей множественной регрессии. Учебно-методическое пособие по выполнению РГР по дисциплине «Эконометрика». – Уфа, Изд-во УГНТУ, 2011. – 33 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ А