МНК и его реализация с использованием сервиса «Поиск решений»

Использование сервиса Поиск решения позволяет наглядно продемонстрировать суть метода наименьших квадратов (МНК). Результаты расчетов и проверки качества моделей приведены в таблицах и на диаграммах. Схема расчетов та же, что и в задачах математического
программирования:
- задать произвольные коэффициенты аппроксимирующей функции,
- построить функцию в заданном диапазоне Х,
- вычислить отклонения Y – Yфакт для диапазона, в котором значения Y
используются для настройки модели (оценки коэффициентов),
- вычислить все (Y – Yфакт)^2 и сумму (Y – Yфакт)^2(сумма квадратов отклонений, Error Squared Sum, ESS),
- вызвать Поиск решения, целевая ячейка ESS, Изменяя ячейки
коэффициенты, ограничений нет, Выполнить.
Показатель качества модели – коэффициент корреляции Х и Y R и
его квадрат – коэффициент детерминации R2.
Согласно теореме Гаусса-Маркова, МНК обеспечивает наилучшую линейную несмещенную оценку вектора параметров, т.е. наилучшее качество линейной модели, если соблюдаются условия:
1. Равенство дисперсий остатков в разных диапазонах Х. Это
свойство называется гомоскедастичность, его несоблюдние – гетероскедастичность. Отклонение от гомоскедастичности проверяется по тесту Голдфелда-Квандта
GQ = ДИСП Ост1 / ДИСП Ост2, где ДИСП Ост1 и ДИСП Ост2 – дисперсии остатков (отклонений) в разных половинах диапазона Х; большая дисперсия делится на меньшую;
GQ сравнивают с критерием Фишера для заданных уровня значимости и количества точек; нормально GQ < 5.

2. Отсутствие автокорреляции, т.е. взаимозависимости соседних значений остатков; коффициент автокорреляции можно вычислить с помощью функции КОРРЕЛ, задав в окне Массив1 диапазон остатков с номерами 1: N-1, а в окне Массив2 диапазон 2: N; по полученному коэффициенту R вычисляют статистику Дарбина-Уотсона DW = 2(1-R), для которой вычислены критические значения при различных уровнях значимости: приблизительно 0: 1 и 3: 4 плохо, 1: 1,5 и 2,5: 3 так себе,1,5: 2,5 хорошо. Наличие автокорреляции означает, что аппроксимирующая функция подобрана неверно.

Вычисленные для обеих моделей R2, DW, GQ представлены в таблицах, а также показаны графики остатков. Видно, что качество обеих моделей высокое, применение МНК правомерно. Применение для прогноза одной из двух моделей зависит от дополнительной информации и

личного опыта.

Важная характеристика экономических процессов – эластичность, которая показывает, на сколько процентов изменится зависимая переменная Y при увеличении влияющей переменной Х на 1 %: Э = (ΔY / Y) / (ΔX / X)

Понятие и причины автокорреляции остатков. Последствия автокорреляции остатков. Обнаружение автокорреляции остатков.