Общие теоремы динамики точки

Для решения многих задач динамики целесообразно пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствиями основного закона динамики.

Основными динамическими характеристиками движения точки являются количество движения и кинетическая энергия.

Количеством движения точки называется векторная величина mv, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Направлен вектор mv так же, как и скорость точки, т.е. по касательной к ее траектории движения.

Кинетической энергией точки называется скалярная величина mv /2, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Для характеристики действия, которое оказывает на тело сила за некоторый промежуток времени, вводиться понятие об импульсе силы. Направлен элементарный импульс по линии действия силы. Элементарным импульсом силы называется векторная величина dS, равная произведению вектора силы Р на элементарный промежуток времени dt;

если сила Р постоянна по модулю и направлению, то:

причем, в этом случае и модуль вычисляется аналогично:

В общем случае модуль импульса может быть вычислен через его проекции:

, ,

Теорема об изменении количества энергии точки. Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени:

В проекциях на координатные оси:

, ,

С помощью теоремы об изменении количества движения точки легко решаются задачи, в которых:

a)действующие силы постоянны, b)в число данных и искомых величин входят действующие силы, время движения, начальная и конечная скорости точки.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении:

При перемещении по неподвижной гладкой поверхности (или кривой) изменение кинетической энергии точки равно сумме работ на этом перемещении приложенных к точке активных сил.

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии легко решаются задачи, в которых:

a) действующие силы постоянны, b)в число данных и искомых величин входят действующие силы, перемещение точки, скорости в начале и в конце перемещения.

Применяя обе теоремы одновременно, можно решить некоторые смешанные задачи, в которых данными (или искомыми) являются и время движения, и перемещение точки.