Тема: Основные примеры групп

Основные понятия: группа, подгруппа, группы подстановок n-ой степени, группы изометрий на плоскости.

Задание 1. Является ли группой множество G относительно заданной операции:

1) - множество чисел вида , где целые числа, относительно сложения;

2) относительно сложения;

3) относительно умножения;

4) относительно умножения;

5) относительно умножения;

6) - множество матриц с определителем, равным 1, относительно умножения;

7) относительно умножения;

8) - множество всех подмножеств множества , относительно операции ;

9) - - множество всех подмножеств множества , относительно операции ;

10) относительно композиции;

11) относительно операции , где - дробная часть числа;

12) - множество функций вида где относительно композиции функций

13) - множество всех вещественных чисел относительно операции : , где фиксированные действительные числа;

14) - множество верхних нильтреугольных матриц относительно операции ;

15) - множество верхних нильтреугольных матриц порядка 3 относительно операции ;

Задание 2. Является ли множество H подгруппой группы G:

1) H = , G =

2) H = 3 , G =

3) H = 5 , G =

4) H = , G =

5) H = , G =

6) H = {-1,1}, G =

7) , G = ₆

8) , G =

9) H = , G =

10) H = , G =

11) H = G =

12) H =

Задание 3. Вычислить если

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Задание 4. Выписать группу изометрий следующих плоских фигур:

1) равнобокая трапеция;

2) параллелограмм;

3) прямоугольник;

4) буква Х;

5) эллипс;

6) гипербола;

7) кубическая парабола;

8) пятиконечная звезда;

9) шестиконечная звезда;

10) буква Ж;

11) график уравнения ;

12) лемниската Бернулли.