Задание. Оценка закона распределения на основе выборочных данных

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Оценка закона распределения на основе выборочных данных.

Цель работы:

Оценка закона распределения генеральной совокупности на основе выборочных данных..

Задание.

Имеется выборка объемом из неизвестного распределения (приложение 3). Предполагается, что может быть одним из следующих распределений:

1) - нормальное распределение с плотностью , , где параметры и - неизвестны;

2) - распределение Лапласа с плотностью , , где параметры и - неизвестны;

3) - распределение Коши с плотностью , , где параметры и - неизвестны;

4) - показательное распределение с плотностью , , где параметр - неизвестен;

5) - распределение Релея с плотностью , , где параметр - неизвестен;

6) - распределение с плотностью , , где параметр неизвестен.

7) - распределение хи-квадрат с с плотностью , где параметр неизвестен.

Требуется:

1) Представить выборку в виде интервального статистического ряда. При разбивке на интервалы следует следить за тем, чтобы частоты для всех интервалов были одного порядка, причем количество выборочных значений попавших в каждый интервал должно быть не меньше 5 (). В противном случае следует изменять длины интервалов, добиваясь относительно равномерного распределения частот по интервалам.

2) Построить гистограмму и сравнить ее (качественно) с кривыми плотности возможных теоретических распределений.

3) Выдвинуть гипотезу о виде закона распределения (на основе сравнения гистограммы с графиком плотности теоретического распределения). Используя критерий Пирсона на уровне значимости проверить гипотезу . Если гипотеза отвергается, следует выдвинуть другую и аналогично подвергнуть ее проверке.

4) Для принятой гипотезы уточнить значение оценок параметров распределения, используя метод наименьших квадратов (определяем оценки, исходя из минимума статистики критерия Пирсона )

5) Найти реально достигнутый уровень значимости , то есть вероятность того, что при истинности гипотезы значение статистики будет больше наблюдаемого значения статистики :

Приложение 1.

Критерий (Пирсона) для простой гипотезы

Пусть выборка из генеральной совокупности . Проверяется гипотеза против альтернативы .

Представим выборку в виде группированного ряда, разбив предполагаемую область значений случайной величины на интервалов. Пусть - число элементов выборки попавших в -ый интервал, а - теоретическая вероятность попадания в этот интервал при условии истинности . Составим статистику , которая характеризует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений от ожидаемых по всем интервалам группирования.

Теорема Пирсона. Если верна, то при фиксированном и

. (1)

Таким образом, статистику можно использовать в качестве статистики критерия согласия для проверки гипотезы о виде закона распределения, который будет иметь вид:

, , (2)

где -квантиль распределения .

Данный критерий называется критерием или критерием согласия Пирсона.

Замечание. Критерий не состоятелен для альтернатив, для которых для всех . Поэтому, следует стремиться к как можно большему числу интервалов группирования. Однако, с другой стороны, сходимость к величины обеспечивается ЦПТ, то есть ожидаемое значение для каждой ячейки не должно быть слишком мало. Поэтому обычно число интервалов выбирают таким образом, чтобы .

Критерий (Пирсона) для сложной гипотезы

Пусть выборка из генеральной совокупности . Проверяется сложная гипотеза , где - неизвестный параметр распределения (или вектор параметров), против альтернативы .

Пусть выборка по прежнему представлена в виде группированного ряда и - число элементов выборки попавших в -ый интервал, . Статистику (1) мы не можем в этом случае использовать для построения критерия Пирсона, так как не можем вычислить теоретические значения вероятностей , которые зависят от неизвестного параметра . Пусть - оценка параметра , а - соответствующие ей оценки вероятностей . Составим статистику .

Теорема Пирсона. Если верна, и - число компонент вектора (число неизвестных параметров распределения), то при фиксированном и

. (3)

Таким образом, критерий Пирсона для параметрической гипотезы будет иметь вид:

, , (4)

где - квантиль распределения .

Замечание. Вообще говоря, оценки, используемые для построения статистики критерия хи-квадрат, должны быть определены из условия минимума статистики . Поэтому желательно уточнить оценки, найденные другим способом (методом максимального правдоподобия или методом моментов) путем минимизации .

Приложение 2. Пример выполнения задания.

Дана выборка объемом из неизвестного распределения :

4,81	7,03	4,95	0,25	13,00	26,52	1,40	3,19	0,07	1,99
11,48	15,45	5,17	14,65	8,09	0,38	2,34	1,14	0,39	1,56
2,58	17,15	0,47	1,75	13,74	11,50	8,75	1,08	0,51	2,68
0,53	9,04	3,82	1,01	5,13	6,80	4,52	6,69	3,04	9,41
0,61	7,58	4,26	0,14	3,60	1,27	2,97	8,63	3,46	0,57
0,21	20,35	5,96	3,81	3,35	1,93	1,70	0,71	1,97	4,87
21,17	6,28	0,12	6,02	4,92	1,06	2,94	10,82	3,57	8,04
4,49	5,35	1,07	1,44	0,07	1,61	8,54	14,11	9,63	7,90
0,74	2,96	0,04	5,23	16,01	12,32	0,15	1,36	16,36	5,48
9,88	5,14	6,81	1,27	7,33	10,11	1,88	1,52	1,14	5,62

Построим статистический ряд, осуществив группировку данных. Находим , . Число интервалов группирования определяем по формуле Стерджесса: . Для удобства возьмем в качестве нижней границы первого интервала значение , а в качестве верхней границы последнего интервала значение , тогда длина каждого интервала группирования будет равна . Подсчитывая частоты, получаем следующий ряд:

Интервал	0 - 4	4 - 8	8 - 12	12 - 16	16 - 20	20 - 24	24 - 28
Частота

Видим, что частоты распределены по интервалам крайне неравномерно, поэтому делаем перегруппировку данных, добиваясь более равномерного распределения частот по интервалам. В результате получаем следующий ряд:

Интервал	0 - 1,5	1,5 - 3	3 - 5	5 - 7	7 - 10	10 - 16	16 - 27
Середина	0,75	2,25			8,5		21,5
Частота
Относительная частота	0,28	0,15	0,15	0,13	0,13	0,1	0,06
Плотность частоты	0,1867	0,1000	0,0750	0,0650	0,0433	0,0250	0,0055

Соответствующая гистограмма приведена на рисунке.

Анализируя гистограмму, видим, что распределение экспериментальных данных похоже на показательное распределение. Таким образом, выдвигаем гипотезу о том, что выборочные данные имеют показательное распределение. В качестве оценки неизвестного параметра , этого распределения возьмем оценку, полученную по методу моментов (через первый момент). Так как , то . Вычислим значения плотности показательного распределения в точках, соответствующих серединам интервалов группирования, и сравним гистограмму с графиком плотности:

Интервал	0 - 1,5	1,5 - 3	3 - 5	5 - 7	7 - 10	10 - 16	16 - 27
Середина	0,75	2,25			8,5		21,5
Плотность частоты	0,1867	0,1000	0,0750	0,0650	0,0433	0,0250	0,0055
Теоретическая плотность	0,1605	0,1218	0,0882	0,0610	0,0385	0,0168	0,0035

Найдем также оценки коэффициента асимметрии и эксцесса распределения и сравним их с коэффициентом асимметрии и эксцессом показательного распределения.

Выборочный коэффициент асимметрии

Выборочный эксцесс .

Коэффициент асимметрии для показательного распределения , эксцесс . Хотя различие есть, тем не менее можно утверждать, что данные выборочные характеристики имеют смещение (относительно нуля) в сторону характеристик показательного закона.

Примерим критерий Пирсона для проверки нашей гипотезы о законе распределения выборочных данных. Подсчитаем вероятности попадания в каждый интервал при условии, что генеральная совокупность имеет показательное распределение с параметром : , - функция распределения показательного закона. Причем для последнего интервала, полагаем и, соответственно, , поскольку теоретически для показательного распределения плотность отлична от нуля на интервале . Далее находим ожидаемые значения - и нормированные квадраты отклонений по всем интервалам. Результаты оформляем в виде таблицы:

Интервал	0 - 1,5	1,5 - 3	3 - 5	5 - 7	7 - 10	10 - 16	16 - 27
Частота
Вероятность	0,242	0,183	0,177	0,123	0,117	0,106	0,052
Ожидаемые значения	24,16	18,32	17,74	12,27	11,69	10,59	5,24
	0,61	0,60	0,42	0,04	0,15	0,03	0,11

Находим наблюдаемое значение статистики критерия Пирсона: .

Зададим уровень значимости . Для заданного уровня значимости и числа степеней свободы ( - так как один параметр распределения мы оценивали по выборке) найдем критическое значение статистики, как критическую точку распределения уровня (или что тоже самое – квантиль уровня 0,95): . (Критическую точку заданного уровня можно получить, например, используя функцию пакета EXCEL – ХИ2ОБР).

Так как , то гипотеза о распределении данных по показательному закону принимается.

Уточним значение , минимизируя наблюдаемое значение статистики . Используя последовательные итерации, можно получить оценку , при которой наблюдаемое значение . Видим, что в данном случае эта оценка практически не отличается от оценки метода моментов.

Найдем также достигнутый уровень значимости, то есть такое значение , для которого при истинности нашей гипотезы Можно воспользоваться, например, функцией пакета EXCEL – ХИ2РАСП. Для 5 степеней свободы и получим .

Приложение 3. Варианты заданий.

Вариант 1.

-0,29	2,64	-0,76	-3,58	-0,31	-0,53	2,48	-0,07	-2,02	0,02
-1,70	-3,76	-2,54	-0,60	-0,36	3,21	-2,37	-0,54	-0,98	-0,31
0,23	-0,22	-2,90	-0,40	1,82	1,01	0,56	0,74	-2,18	3,78
1,70	1,38	-1,18	0,12	-0,07	4,29	1,06	-0,37	-0,35	-2,66
1,56	-1,36	-0,87	-0,36	-0,17	-0,71	3,08	0,85	-0,03	-0,82
0,88	0,12	0,13	-0,19	-0,18	-0,05	-1,15	3,69	0,78	-0,93
0,02	0,10	1,74	-1,45	-4,24	1,17	-0,45	-0,92	-0,96	0,74
-0,52	-0,58	0,32	1,09	-0,21	-2,42	-0,04	-0,87	0,60	-0,55
-0,84	-3,65	0,30	-0,94	-0,06	-0,07	-2,64	-2,30	-0,49	0,74
-0,47	-2,38	-0,62	-0,38	0,61	0,47	-1,97	0,45	0,33	0,65

Вариант 2.

12,67	9,98	9,46	9,55	6,48	4,49	5,70	11,92	14,24	9,25
15,16	7,15	13,27	5,46	7,20	5,05	5,90	16,16	7,64	7,83
2,69	3,40	3,64	11,34	4,29	6,32	4,43	5,45	7,97	8,03
16,37	6,57	5,96	10,43	8,34	14,19	11,75	14,84	4,75	7,60
6,24	7,98	2,95	9,85	5,57	11,08	8,37	9,55	15,31	6,13
10,17	4,81	2,78	9,20	11,80	7,94	6,15	13,25	13,85	7,19
15,18	6,81	7,99	7,88	10,32	11,12	7,04	8,08	4,86	13,23
5,77	14,04	9,53	6,46	3,70	1,88	10,28	3,15	8,47	4,86
5,66	5,36	5,96	12,86	8,77	9,11	8,71	6,27	6,44	3,49
8,02	14,96	9,46	11,20	9,33	11,39	4,02	7,21	4,75	4,68

Вариант 3.

1,15	0,57	3,90	0,82	1,77	0,78	1,15	0,80	0,33	1,04
0,34	0,50	4,94	0,06	3,76	0,22	5,66	0,13	0,91	0,27
0,55	1,25	3,79	0,28	0,20	1,70	0,77	0,20	0,25	3,81
1,33	0,13	1,45	3,05	0,06	0,09	1,90	3,58	2,48	1,39
2,30	0,02	2,82	0,07	0,32	6,07	1,65	1,59	0,50	0,92
1,30	0,85	2,42	0,46	1,03	0,92	0,94	3,04	0,50	2,52
0,04	0,75	3,27	5,01	1,99	1,44	3,04	1,35	0,56	1,62
1,73	1,44	3,10	1,09	3,41	7,77	0,16	2,98	0,97	4,20
0,45	0,52	0,42	0,81	2,32	0,35	1,91	8,39	1,79	3,59
0,76	0,00	0,63	1,41	0,77	4,67	0,03	1,01	0,52	0,05

Вариант 4.

3,41	5,25	8,66	2,42	4,76	1,60	3,62	4,85	3,30	9,28
9,26	4,92	1,32	2,39	4,70	1,19	5,94	4,35	3,18	2,52
5,71	12,32	4,42	2,46	3,38	1,19	5,28	5,82	5,97	6,76
9,45	2,86	2,73	4,36	9,89	6,80	0,18	2,06	1,23	3,56
0,64	4,25	1,77	12,16	0,14	7,60	7,15	4,57	1,68	0,21
2,05	1,53	1,63	1,88	3,50	1,93	4,19	1,88	2,61	3,49
4,94	1,18	5,12	3,98	5,15	0,53	4,25	4,97	6,24	6,08
11,43	4,48	1,45	1,38	0,81	5,43	6,18	7,89	2,10	2,70
4,79	3,24	3,99	9,62	1,28	3,90	4,13	4,82	1,66	7,84
1,45	4,79	3,98	5,34	1,67	5,56	5,72	6,38	3,91	1,49

Вариант 5.

4,93	2,12	2,63	1,28	2,61	-46,88	2,66	-3,73	3,40	4,38
9,58	1,21	0,69	3,37	2,41	2,47	13,98	3,09	2,63	21,88
1,17	9,04	2,96	2,84	14,75	3,95	4,17	2,40	5,04	2,83
0,74	-1,39	3,52	-0,55	27,23	2,68	-8,21	2,12	6,40	1,99
1,08	-4,23	3,82	2,59	4,61	1,14	2,09	3,74	2,14	3,54
-92,24	2,83	3,63	40,08	-6,88	-7,57	-57,09	8,03	75,41	1,97
-0,68	4,53	4,94	0,19	5,59	4,94	2,47	-7,34	6,76	5,38
2,08	0,93	5,86	3,91	4,56	37,38	3,70	-1,46	4,31	-2,58
4,59	2,60	3,77	3,94	3,33	2,30	-3,97	40,48	14,45	7,01
-5,99	-1,55	4,48	3,18	2,98	3,41	-18,20	2,34	-0,28	-0,66

Вариант 6.

-0,07	4,78	-16,43	-1,45	-3,14	1,90	-3,32	29,29	-2,24	0,12
2,74	1,50	-1,42	7,62	0,48	0,37	-0,38	-1,68	-0,36	-0,13
-6,14	1,50	-5,23	-0,26	0,58	6,69	-6,22	0,58	0,79	2,85
5,55	1,33	11,17	-0,14	-0,78	-0,37	13,00	23,48	1,02	-0,46
4,44	0,91	-1,73	0,02	1,48	-3,45	-0,75	-0,65	-1,03	-4,94
-3,95	-0,89	5,11	-2,42	-1,62	-0,56	5,37	1,57	0,01	2,11
0,08	-4,05	0,35	0,71	0,15	3,29	-7,35	-1,05	-0,57	0,25
-0,56	0,08	29,12	31,60	0,85	0,32	0,16	-0,18	-4,01	-1,71
-0,22	1,05	-1,50	0,96	0,85	1,64	-0,87	-2,15	-0,09	-0,18
-2,37	-1,07	0,12	-3,08	-0,24	-0,99	1,93	0,17	4,86	-2,50

Вариант 7.

0,97	0,32	0,31	0,51	0,48	0,38	0,11	0,72	0,60	0,47
0,07	0,52	0,05	0,09	0,11	0,25	0,98	0,41	0,00	0,07
0,36	6,83	0,62	0,27	0,63	0,11	0,36	1,52	0,24	0,34
0,04	0,64	0,55	0,46	1,55	0,07	0,05	1,68	1,55	0,45
0,37	0,52	0,27	0,30	0,03	3,31	0,09	0,18	2,64	0,49
0,89	0,36	1,37	0,42	0,04	0,16	0,20	0,15	0,08	1,11
1,54	0,18	11,29	0,29	0,12	0,18	0,28	0,08	1,47	2,20
1,08	3,49	0,64	0,97	0,03	0,21	0,90	4,01	0,38	0,05
1,05	0,95	0,91	1,52	0,15	0,14	1,12	1,60	0,29	0,13
0,56	2,78	0,11	25,98	3,13	0,06	4,14	1,56	1,37	0,50

Вариант 8.

14,78	5,88	2,03	8,86	13,16	7,44	7,81	11,34	10,38	13,17
7,00	12,44	10,86	12,15	6,44	13,43	7,94	4,80	9,55	4,50
5,01	11,31	14,26	6,34	10,13	7,65	12,01	5,19	5,69	17,97
7,30	7,01	16,28	12,00	14,82	2,90	7,18	9,31	14,23	12,54
2,38	9,04	1,73	17,93	3,03	4,48	14,27	14,62	2,16	13,29
15,87	5,12	11,18	12,15	13,23	10,37	13,40	16,85	5,65	17,32
16,93	17,25	6,81	13,77	3,16	10,81	10,26	9,36	10,68	4,88
6,24	18,48	3,15	6,71	13,40	22,71	4,75	4,97	9,08	11,09
12,92	5,39	6,64	9,39	10,70	5,93	11,35	3,92	12,22	4,89
4,18	4,75	10,97	24,92	6,85	6,94	7,21	13,25	14,35	1,93

Вариант 9.

3,36	0,88	0,62	0,65	3,95	2,19	8,10	2,54	-5,06	0,85
6,56	0,63	0,40	0,37	0,73	0,16	0,10	0,43	1,32	0,94
-1,47	2,59	-2,96	-2,23	2,51	0,21	-3,62	2,24	2,12	3,59
0,42	5,47	2,53	1,36	0,62	-1,20	-1,56	1,68	4,17	3,66
1,92	6,12	1,54	0,00	2,74	1,69	0,74	-0,42	-0,43	1,75
0,56	0,63	-0,92	-0,62	3,45	0,98	2,67	1,48	-0,29	-0,55
1,41	0,10	0,85	-0,64	-0,31	2,28	2,11	0,76	1,02	0,28
2,59	2,80	-3,72	3,51	2,83	-1,26	0,29	-0,47	0,65	-2,78
0,91	0,95	-2,47	-3,63	-1,62	-2,04	0,70	0,86	-0,60	2,99
1,18	1,22	0,31	-0,42	4,48	1,00	1,50	-1,42	1,34	0,53

Вариант 10.

0,98	0,75	0,96	2,46	0,39	0,10	1,68	1,23	2,93	1,49
0,46	0,31	0,94	0,33	0,67	2,28	1,40	1,78	2,28	1,62
1,35	0,26	2,20	1,56	0,36	0,46	0,62	1,81	2,16	1,33
2,14	0,60	1,12	1,84	0,94	0,77	1,02	0,78	1,25	0,57
2,08	0,70	1,05	2,68	1,16	1,73	1,27	0,63	1,18	2,11
2,52	0,19	0,85	1,12	1,20	1,51	1,58	2,01	1,50	0,97
0,17	0,82	2,73	0,84	0,97	1,82	1,27	0,49	1,16	0,67
1,02	0,92	1,81	1,67	2,92	1,61	0,63	0,35	0,56	0,68
1,99	1,27	3,08	0,93	0,29	0,42	2,65	1,69	0,28	0,90
0,55	0,94	0,77	1,73	0,72	0,53	1,52	1,64	1,78	0,89

Вариант 11.

4,95	6,53	2,35	2,17	2,31	0,35	1,76	2,85	4,75	1,14
2,88	2,37	6,41	1,62	1,27	3,39	4,71	2,25	3,22	1,60
3,24	2,15	3,50	3,96	4,20	4,05	4,96	5,43	4,16	4,67
2,40	3,83	3,40	1,79	3,21	8,55	1,99	4,26	4,29	3,68
3,22	3,07	7,26	8,10	4,76	1,09	5,31	4,73	3,80	3,51
0,48	3,12	4,30	3,28	2,34	1,05	4,96	8,47	3,00	3,87
3,26	7,17	4,46	1,02	2,86	0,44	3,12	4,10	1,29	0,74
1,32	3,61	3,07	2,88	4,13	6,17	1,06	1,61	8,57	3,03
3,86	3,24	5,02	5,65	2,89	9,23	5,79	4,56	7,22	1,86
4,61	7,82	3,39	2,79	3,97	2,78	5,20	1,45	5,87	1,77

Вариант 12.

7,39	0,68	39,45	16,48	23,22	1,68	23,75	0,11	20,11	6,20
1,18	2,07	16,35	0,42	4,42	4,92	9,58	17,68	9,43	7,80
29,68	2,07	28,11	8,70	4,03	0,48	29,81	4,06	3,37	1,14
0,58	2,29	0,29	7,86	12,44	9,51	0,25	0,14	2,84	10,17
0,73	3,08	17,88	6,80	2,10	24,11	12,23	11,50	14,08	27,55
25,40	13,16	0,63	20,82	17,36	10,85	0,60	1,99	6,85	1,52
6,42	25,64	5,00	3,63	6,01	0,99	31,46	14,15	10,97	5,46
10,90	6,46	0,11	0,10	3,23	5,14	5,98	8,16	25,54	17,79
8,41	2,77	16,77	2,96	3,22	1,92	13,03	19,78	7,51	8,15
20,61	14,30	6,17	23,02	8,52	13,81	1,65	5,90	0,67	21,11

Вариант 13.

0,03	0,14	0,02	0,10	9,47	0,63	1,04	2,74	0,08	0,30
0,08	0,02	0,29	0,36	0,50	0,03	2,61	0,61	5,44	3,65
0,14	0,04	4,72	0,02	0,01	0,68	0,06	0,12	0,20	1,24
1,49	0,02	0,08	0,13	0,02	0,64	0,46	0,77	0,28	0,08
0,75	0,00	1,70	0,07	0,11	2,26	0,05	1,20	0,47	0,29
0,24	2,78	0,13	1,21	0,75	2,29	8,23	0,99	1,98	0,34
0,72	0,32	0,10	0,34	0,84	0,24	0,82	0,84	0,18	1,89
0,15	0,93	2,05	6,39	0,07	0,40	0,15	0,08	0,40	0,25
0,54	0,08	0,05	0,02	5,68	0,55	3,08	0,99	10,61	1,24
0,60	0,30	0,04	0,05	0,81	0,16	0,05	2,25	0,35	0,31

Вариант 14.

8,62	-0,04	13,50	10,30	8,72	10,86	5,93	8,84	6,20	9,78
7,31	9,41	4,10	1,36	9,41	5,37	6,68	10,51	8,54	9,46
8,85	10,73	7,25	4,19	13,38	2,83	9,10	6,85	4,66	6,24
5,91	0,53	9,30	8,47	8,42	4,33	9,02	8,99	3,54	8,92
7,13	5,78	8,53	8,33	6,36	8,69	11,95	6,30	10,72	10,33
14,78	5,88	11,41	6,27	5,68	4,99	11,02	8,27	13,87	6,54
5,42	10,02	6,48	2,11	3,56	10,00	8,17	8,19	10,15	4,69
10,65	10,00	8,11	8,58	8,25	2,67	7,95	7,65	7,07	6,65
7,24	9,46	1,70	10,51	8,63	0,96	7,34	8,69	3,82	7,75
7,54	8,29	7,98	7,45	14,25	8,15	4,15	11,53	5,01	7,28

Вариант 15.

0,11	-1,53	-0,94	0,21	0,77	1,10	0,23	-0,15	0,79	-0,71
1,17	0,01	0,45	1,55	1,48	-0,09	0,01	1,00	1,25	1,35
0,52	-1,61	2,16	0,64	0,19	0,02	0,20	1,43	0,74	-0,21
0,41	0,80	-0,41	0,31	-1,26	0,75	1,05	2,04	-0,42	-1,06
0,33	-0,30	-0,34	-0,10	-1,54	0,67	-0,40	-0,15	0,98	-1,04
1,55	-1,58	1,78	-0,71	0,75	0,48	-0,18	0,49	-0,07	0,90
1,04	2,75	1,03	0,76	-2,53	0,27	0,92	-1,17	-0,85	-1,83
-0,35	-1,07	-0,02	1,64	0,35	-0,86	-0,06	0,69	2,16	-0,54
1,20	-0,57	1,57	-0,05	0,34	0,83	-0,28	0,48	1,85	0,93
0,91	-1,50	-1,08	0,53	-0,53	0,29	0,77	-1,13	-0,76	2,30

Вариант 16.

7,42	7,97	10,85	7,65	5,79	7,62	5,90	11,17	8,31	6,79
6,69	3,12	5,97	8,61	3,69	9,43	12,31	10,46	10,34	8,76
9,63	8,83	7,69	10,17	7,72	9,99	3,45	9,95	8,17	10,74
7,27	5,81	6,58	3,74	7,09	5,20	2,45	10,62	4,44	10,24
4,72	7,88	5,60	8,83	9,61	6,60	5,64	6,34	7,57	-1,87
8,14	10,78	9,91	11,19	6,74	5,45	9,51	3,50	4,08	5,59
3,45	12,51	10,86	8,62	7,22	7,32	4,04	8,06	2,81	7,62
0,59	6,19	4,89	6,97	8,36	7,94	6,82	7,46	6,62	8,31
6,07	8,66	6,60	8,56	7,09	3,15	6,62	7,13	8,78	8,24
17,94	12,91	10,80	1,05	12,64	7,53	8,62	7,91	9,09	5,91