Лабораторная работа № 3
Системы счисления с основанием 2, 8 и 16
Тема: Системы счисления: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная
Цель работы: Освоить методы перевода чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системы в десятичную и обратно
Задание
1. Прочитать методические указания.
2. Выполнить задания.
3. Оформить отчет.
Методические указания
Непозиционная система счисления — ранние простые системы счисления, например, римская система.
Позиционная система счисления подразумевает более сложный уровень абстракции — для записи цифр используется базовый набор символов, число которых составляет основание системы счисления. Место каждого символа в числе называется позицией, а номер позиции символа называется разрядом (начинается с нуля). Разряды увеличиваются, начиная с нулевого: нулевой, первый, второй и т.д., причем нулевой называется младшим разрядом, а последний — старшим разрядом.
В позиционных системах счисления любое положительное число может быть записано при помощи формулы, составить которую можно, введя следующие обозначения:
|
|
Пусть p — основание системы счисления, Аp — количественный эквивалент числа A, состоящего из n цифр ak, где k = 0, …, n–1. Тогда число A можно представить как последовательность цифр Ap = an-1an-2...a1a0, причем всегда ak < p.
В общем случае количественный эквивалент любого положительного числа в позиционной системе счисления можно представить в виде:
A p = a n-1 · p n-1+ a n-2 · p n-2 +... + a 1 · p 1+ a 0 · p 0, (1)
где a — цифра данной системы счисления, n — номер старшего разряда числа.
Проанализировав это выражение, можно сформулировать следующее общее правило: количественный эквивалент числа в некоторой позиционной системе счисления равен сумме произведений количественных значений цифр и степеней основания, показатели которых равны номерам разрядов, причем нумерация разрядов начинается с ноля.
В привычной нам десятичной системе счисления любое положительное число может быть представлено по формуле (1) аналогично следующему примеру:
1254698357 = 1·109+2·108+5·107+4·106+6·10 5+9·104+8·103+3·102+5·101+7·100
Десятичная система счисления
Хорошо известно, что данная система исчисления использует следующий базовый набор из 10 цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, поскольку ее основание p = 10.
Согласно формуле (1), количественный эквивалент целого положительного числа в десятичной системе отсчета равен:
A 10 = a n-1 · 10 n-1+ a n-2 · 10 n-2 +... + a 1 · 10 1+ a 0 · 10 0 (4)
Например,
1234567890 = (1·109)+(2·108)+(3·107)+(4·106)+(5·105)+(6·104)+(7·103)+(8·102)+(9·101)+(0·100) = 123456789010
Двоичная система счисления
Согласно формуле (1), количественный эквивалент некоторого целого положительного n -значного числа в двоичной системе отсчета равен:
|
|
A 2 = a n-1 · 2 n-1+ a n-2 · 2 n-2 +... + a 1 · 2 1+ a 0 · 2 0, (2)
Например,
1011001 = (1·26)+(0·25)+(1·24)+(1·23)+(0·22)+(0·21)+(1·20) =64+16+8+1 = 89 10
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система исчисления обладает базисом из восьми цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, так как ее основание p = 8. Для отличия от десятичной системы после цифр часто ставят цифру 8 в индексе — 3278, или другие обозначения. Согласно формуле (1), количественный эквивалент целого положительного числа в восьмеричной системе отсчета равен:
A 8 = a n-1 · 8 n-1+ a n-2 · 8 n-2 +... + a 1 · 8 1+ a 0 · 8 0 (3)
Например,
123456708 = (1·87)+(2·86)+(3·85)+(4·84)+(5·83)+(6·82)+(7·81)+(0·80)= 2097152+524288+98304+16384+2560+384+56 =273912810