Решение систем линейных уравнений. Решение системы - упорядоченный набор чисел, при подстановке которых в уравнения исходной системы получаются тождества

Решение системы - упорядоченный набор чисел, при подстановке которых в уравнения исходной системы получаются тождества. Система имеет решение, если

1. Метод Крамера

Вычисляется один основной и n дополнительных определителей

Затем находится решение:

2. Метод простой итерации

Выразим из каждого уравнения одну переменную через другую.

Если последовательность - сходящаяся, то её предел есть решение системы.

3. Метод Зейделя

Метод состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении используются ранее найденные значения . Существует возможность преобразования системы к виду, обеспечивающему сходимость.

AX=B – система в матричном виде, где A – матрица коэффициентов, X – столбец переменных, B – матрица правых частей.

-транспонировання матрица.

– называется нормальной системой по отношению к исходной. Такую матрицу всегда можно привести к удобному для процесса Зейделя виду.

4. Метод Гаусса

Пусть дана линейная система (

Суть метода заключается в том, что производится последовательное исключение переменных, в результате которого система приводится к треугольному виду.

Затем из полученной системы, двигаясь снизу вверх, находят значение всех неизвестных.

Чтобы избежать накопления ошибок округления, при исключении неизвестных произвожят выбор главного элемента стоблца, т.е. элемента с наибольшим модулем коэффициента, и меняют уравнения местами так, чтобы главный элемент стал диагональным.