Пример выполнения. Критерии устойчивости САУ

Лабораторная работа № 3

Критерии устойчивости САУ

Дано:

Передаточная функция разомкнутой системы W(s).

Необходимо:

1 Получить переходный процесс и проверить устойчивость разомкнутой системы с помощью критерия Гурвица.

2 Найти полюса и нули передаточной функции разомкнутой системы и представить их графически.

3 Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Михайлова (и следствия из него).

4 Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Найквиста.

5 Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью логарифмического критерия устойчивости

Пример выполнения

1.

Получим переходный процесс для данной системы:

-->W=poly([2 1],'s','c')/poly([3 5 4 3],'s','c')

W =

2 + s

---------------

2 3

3 + 5s + 4s + 3s

-->S=syslin('c',W)

S =

2 + s

---------------

2 3

3 + 5s + 4s + 3s

-->plot(csim("step",0:0.1:20,S))

-->xgrid()

-->xtitle('Transition Function','Time,c','Magnitude')

Характеристическое уравнение:

Составим определитель Гурвица:

Проверка устойчивости:

С₀ = 3 > 0

Δ₁ = С₁ = 4 > 0

-->det([4 3;3 5])

ans =

11.

Δ₂ = 11 > 0

-->det([4 3 0;3 5 0;0 4 3])

ans =

33.

или

Δ₃ = С₃Δ₂ = 3 * 11 = 33 > 0

Следовательно, по критерию Гурвица разомкнутая система устойчива.

2. Найдем нули и полюса передаточной функции разомкнутой системы и изобразим их графически.

Корни характеристического уравнения разомкнутой системы:

-->roots(poly([3,5,4,3],'s','c'))

ans =

! - 0.8054824!

! - 0.2639255 + 1.0825135i!

! - 0.2639255 - 1.0825135i!

-->plzr(S)

3. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Михайлова.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

-->poly([3,5,4,3],'s','c')+poly([2,1],'s','c')

ans =

2 3

5 + 6s + 4s + 3s

-->deff('u=re(w)','u=5-4*w^2')

-->deff('v=im(w)','v=(6*w)-3*w^3')

-->x=re(0:0.1:100);

-->y=im(0:0.1:100);

-->plot(x,y)

-->xgrid

-->plot(x(1:20),y(1:20))

-->xgrid

По критерию Михайлова замкнутая системы устойчива.

-->roots(poly([5,0,-4],'w','c'))

ans =

! - 1.118034!

! 1.118034!

-->roots(poly([0,6,0,-3],'w','c'))

ans =

! 0!

! - 1.4142136!

! 1.4142136!

-->plot2d(roots(poly([5,0,-4],'w','c')),[0,0],style=-1)

-->plot2d(roots(poly([0,6,0,-3],'w','c')),[0,0,0],style=-3)

Корни действительной и мнимой частей характеристического полинома перемежаются, значит согласно следствию из критерия Михайлова замкнутая система устойчива.

4. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Найквиста.

-->nyquist(S);

Годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатой (-1,0), значит замкнутая система устойчива.

5. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью логарифмического критерия устойчивости. И определим запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

-->bode(S,0.1,1)

-->[gm,fr]=g_margin(S)

fr = //Частота пересечения ЛАЧХ с осью -180°

0.2977516

gm = //Запас устойчивости по амплитуде

14.807254

-->[pm,fr2]=p_margin(S)

fr2 = //Частоты среза

! 0.1591549!

! 0.1648781!

pm = //Запас устойчивости по фазе

! - 90.!

! - 97.645873!

Варианты домашних заданий:

№ варианта	а0	а1	а2	b0	b1	b2	b3
	-		-3	-
			-			-
		-1			-	-2
	-		-1
		-			-1	-
	-			-
	-		-9	-			-5
		-7	-		-
	-			-		-6
			-			-
		-8			-
	-		-3
		-				-
	-			-
	-			-
	-		-	-
	-		-6	-
			-			-	-3
			-2		-
	-		-7