Описание установки и метода измерений. Цель работы: ознакомление с крутильным маятником, закономерностями, связывающими вращательное и колебательное движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: ознакомление с крутильным маятником, закономерностями, связывающими вращательное и колебательное движения, определение момента инерции тел.

Оборудование: крутильный маятник, универсальный миллисекундомер и счетчик числа колебаний, набор грузов и тел.

Описание установки и метода измерений

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Установка включает в свой состав: основание, вертикальную стойку, верхний, нижний и средний кронштейны.

Основание снабжено тремя регулируемыми опорами и зажимом для фиксации стойки.

Вертикальная стойка выполнена из металлической трубы.

Верхний и нижний кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения торсиона (стальной проволоки), с которым связана металлическая рама с грузами.

Конструкция рамки позволяет закреплять тела, значительно отличающиеся друг от друга по своим размерам. Тела крепятся при помощи подвижной балки, перемещающейся по направляющим между балками. Балка устанавливается путем затягивания гаек, расположенных на её концах.

На среднем кронштейне, на котором нанесена шкала отсчёта угла закручивания торсиона, расположены: электромагнит, предназначенный для удерживания рамки в исходном положении и её освобождения (при этом возникают крутильные колебания рамки вокруг вертикальной оси), фотодатчик, предназначенный для определения периода колебаний металлической рамки.

Данный метод измерения момента инерции произвольного тела основан на зависимости периода крутильных колебаний маятника, подвешенного на проволоке, от момента инерции и упругих свойств материала, из которых сделана проволока.

Пренебрегая потерей энергии на трение, будем считать, что кинетическая энергия вращательного движения маятника переходит в потенциальную энергию упругой деформации закручивающейся нити:

В первом приближении крутильный маятник будет совершать гармонические колебания, период колебаний которых можно определить из дифференциального уравнения гармонических колебаний, которое введём на основе закона сохранения энергии: . Продифференцируем обе части этого уравнения . Учитывая, что и после сокращения и деления на , получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний . Из которого следует, что квадрат циклической частоты колебаний будет равен

. (1)

Крутильный маятник с пустой рамкой, обладающий моментом инерции , будет совершать колебания с периодом (см. рис.1).

Если установить на рамку маятника два цилиндрических груза -1 радиусом , массой , каждый, и удалённых от оси маятника на расстояние (см. рис.2), то момент инерции маятника станет равным:

, (2)

а период его колебаний станет равным . Для определения момента инерции — одного цилиндрического груза применили теорему Штейнера.

Запишем соотношение (1) между моментом инерции крутильного маятника и его периодом колебаний для случая установленных на рамку цилиндрических грузов, и для случая пустой рамки крутильного маятника:

, (3)

. (4)

Разделив (3) на (4), получим

, или , сделаем преобразования , учитывая (2), , запишем . Тогда

. (5)

Если снять цилиндрические грузы-1, и установить исследуемый образец-2 (прямоугольный брусок) в рамку (см. рис. 3.), то момент инерции крутильного маятника станет равным , а период его колебаний станет равным .

Запишем соотношение (1) между моментом инерции крутильного маятника и его периодом колебаний для случая установленного в рамку образца, и для случая пустой рамки крутильного маятника:

, (6)