Лекция 5. Основные позиционные задачи

5.1 Построение точки пересечения прямой и плоскости

В начале рассмотрим взаимное расположение прямой и проецирующей плоскости. Здесь возможны три случая: вырожденная в прямую проекция плоскости и соответствующая проекция прямой могут совпадать, располагаться или пересекаться. В зависимости от этого прямая принадлежит плоскости, располагается ей параллельно или они пересекаются.

Найти точку пересечения прямой и плоскости – это означает, что нужно определить такую точку, принадлежащую данной прямой, и проекции которой будут находиться в соответствии, установленном данной плоскостью.

Рисунок 5.1

Пусть требуется построить проекции точки пересечения прямой

и плоскости

Отнесем прямую полю фронтальной проекции плоскости и обозначим через . Определим прямую , родственную прямую в соответствии, установленном плоскостью . Таким образом, задача сводится к определению взаимного расположения прямых и . Если = , то ; || , то . На нашем примере . С помощью линии связи, проведенной через точку , определена точка . Точка является искомой точкой пересечения прямой и плоскости : . Невидимые на эпюре части прямой проведены штриховой линией. Для установления видимости на фронтальной проекции использованы фронтально конкурирующие точки 1 и 3, с на горизонтальной проекции – горизонтально конкурирующие точки 4 и 5.

Аналогично определяется точка пересечения прямой и плоскости , заданной своими следами (рисунок 5.1). Прямой , отнесенной фронтальной проекции плоскости , соответствует прямая ; прямая проходит через точки и . Точка пересечения прямых и будет искомой точкой: ; ; ; . Часть прямой , которая начинается из точки и расположена ниже плоскости , будет невидимой.

5 .2 Построение линии пересечения двух плоскостей.

На рисунке 5.1 изображены две плоскости и , первая из которых задана параллельными прямыми и , а вторая – пересекающимися прямыми и . Требуется установить взаимное расположение этих плоскостей и .

Здесь мы имеем два родственных соответствия, порождаемые соответственно плоскостями и . Нам надо определить общую прямую этих двух родственных соответствий. Проведем произвольную прямую и отнесем ее плоскости . Тогда ей соответствует прямая в родстве, определяемым первой плоскостью. Затем отнесем прямую второй плоскости и обозначим . Находим соответствующую ей прямую в родстве, установленном второй плоскостью. Рассмотрим взаимное расположение двух прямых и . Возможны три случая:

1) = ; тогда плоскости и совпадают ( = );

2) Ç = ; тогда точка К принадлежит линии пересечения плоскостей: ;

3) || .

В первом случае задача уже решена. Если имеет место второй или

Рисунок 5.1

третий случай, следует повторить построение, изменив положение прямой на . В случае, когда необходимо выполнить условие не параллельна . Находим прямую плоскости , и прямую , относя прямую плоскости . Теперь возможны два случая: 1) прямые и параллельны, тогда ; 2) прямые и пересекаются в точке . Точка принадлежит линии пересечения плоскостей: . Во втором случае данные плоскости пересекаются по прямой , которая проводится через точки и или через точку параллельно прямым и (если ).

Пример 3. Построить линию пересечения плоскостей и , заданных своими следами (рисунок 5.2).

Решение. Точка пересечения фронтальных следов плоскостей и точка пересечения горизонтальных следов плоскостей являются общими точками заданных плоскостей.

; .

Поэтому прямая , соединяющая точки и , является искомой линией пересечения: . Этот результат является частным случаем выше приведенной общей схемы. Здесь за принимается ось ; тогда и . За принимается также ось , в результате этого и .