Определители матриц и их свойства

Для каждой квадратной матрицы существует важная числовая характеристика, называемая определителем матрицы, обозначаемая
det A, или |A|, или ∆ – «дельта».

Определение (определителя матрицы).

1. Если матрица состоит из одного числа: А = (а)_1×1, то определитель матрицы равен этому числу det A = a.

2. Пусть дана квадратная матрица второго порядка из четырех чисел a, b, c, d. Определитель второго порядка вычисляется как разность между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях:

.

Например, .

3. Определители третьего порядка удобно считать по правилу треугольника. Рассмотрим его схематично (рис. 1.1). Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел. Определителем третьего порядка называется число, определяемое равенством:

Для практики вычислений удобно пользоваться схемой: первые три слагаемые в правой части равенства представляют собой произведения трех элементов определителя, взятых, как показано пунктирами на (рис. 1.1) слева. Чтобы получить следующие три члена, нужно перемножить элементы определителя по три так, как показано пунктирами на той же схеме справа, и взять их с противоположным знаком (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Правило треугольника для вычисления определителя

Пример 1.3. Вычисление определителя по правилу треугольника.

.

4. Определители высших порядков можно вычислить, раскладывая их по любой выбранной строке или столбцу, сведением к определителям меньших размерностей по формуле: . Суммирование ведется по одному индексу. А_ij называется алгебраическим дополнением к элементу а_ij, это определитель матрицы меньшего порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-го столбца.

Пример 1.4. Вычисление определителя четвертого порядка разложением по первой строке.

= 1 ٠ – 2 ٠ + 2 ٠ – 0٠ =
= 1 ٠(3–18) – 2٠(2+1) + 2٠(–3)= –15 – 6 – 6 = –27.

1.4. Вычислить определители 2-го и 3-го порядков:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

1.5. Вычислить определители матриц (табл. 1.3) разложением по элементам целесообразно выбранной строки (столбца).

Таблица 1.3